Integrar:

Question

ps

Estoy solucionando este problema y me resulta difícil entender por qué$$\int\ln(2x+1) \, dx$.

Al usar esta fórmula$dv= 1$ $

Y usando estas pautas para seleccionar$$\int u\ dv=uv-\int v\ du$ y$u$:

"LIATE" Elija$dv$ para que sea la función que aparece primero en esta lista:

L: Función Logrítmica

I: Función Trig inversa

A: función algebraica

T: Función Trig

E: función exponencial

Answer 1

\begin{align} \int\underbrace{\ln(2x+1)}_\text{This is %#%#%.} \, dx & = \int u\,dx = ux - \int x\,du \\[10pt] & = x\ln(2x+1) - \int x\cdot \frac{2}{2x+1} \,dx \quad\text{etc.} \\[10pt] & = x\ln(2x+1) - \int \left( 1 - \frac 1 {2x+1} \right) \,dx \qquad \text{etc.} \end{align}

Answer 2

Esto es realmente un problema difícil de ver por la primera vez, pero no encaja con las directrices que se dan.

La primera opción si es posible para $u$ es la función logarítmica. Sin embargo, también tenemos otra función en el fin de utilizar la integración por partes. ¿Qué debemos hacer? Bueno, aunque no parezca mucho, podemos darnos cuenta de que $\ln(2x+1)=1\cdot\ln(2x+1)$, y de repente ahora tenemos dos funciones y se puede tratar de integración por partes. Resulta que funciona muy bien también

$$\begin{align}\int\ln(2x+1)\,dx&=\int1\cdot\ln(2x+1)\,dx=x\ln(2x+1)-\int x\cdot\frac{2}{2x+1}\,dx \end{align}$$ y no es demasiado duro para rematar la integral a partir de aquí.

Answer 3

$$\int\ln(2x+1)\ \mathrm dx$ $ Usando la integración por partes, tenemos$$u=\ln(2x+1)\Rightarrow \mathrm du=\frac{2}{2x+1}\mathrm dx$ $$$\mathrm dv=\mathrm dx\Rightarrow v=x$ $ Que produce$$x\ln(2x+1)-\int\frac{2x}{2x+1}\mathrm dx$ $ Usando la sustitución, tenemos$$s=2x+1\Rightarrow \frac12\mathrm ds=\mathrm dx$ $ Por lo tanto$$x\ln(2x+1)-\frac12\int\frac{s-1}{s}\mathrm ds$ $$$=x\ln(2x+1)-\frac12\int\left(1-\frac{1}{s}\right)\ \mathrm ds$ $$$=x\ln(2x+1)-\frac12\left(\int\mathrm ds-\int\frac{1}{s}\mathrm ds\right)$ $$$=x\ln(2x+1)-\frac12\int\mathrm ds+\frac12\int\frac{1}{s}\mathrm ds$ $$$=x\ln(2x+1)-\frac12 s+\frac12\ln s+C$ $$$=x\ln(2x+1)-\frac12(2x+1)+\frac12\ln(2x+1)+C$ $$$=\left(x+\frac12\right)\ln(2x+1)-\left(x+\frac12\right)+C$ $$$=\left(x+\frac12\right)\big(\ln(2x+1)-1\big)+C$ $

Answer 4

En los comentarios, pregunta por qué se considera$v=1$ en la tabla LIATE.

La razón de esto es porque$f(x)=1$ es una función constante, que cae bajo funciones algebraicas. Más específicamente, cualquier función constante es una función algebraica de grado$0$.

Ahora, ¿por qué elegir$v=1$? Solo porque podemos y nos ayuda a realizar IBP en la integral para reducirla a formas estándar.

Answer 5

Otra solución por sustitución:

$u = 2x + 1$

$x = \frac{u-1}{2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$

$\int \log(2x+1) dx = \frac{1}{2}\int \log(u) du = \frac{1}{2}(u \log(u) - u) + C = \frac{1}{2}((2x+1) log(2x+1) - (2x+1)) + C$