Funciones cuyo$n^{th}$ Derivados forman un ciclo

Question

El ejemplo más simple de esto es$e^x$ que podríamos decir tiene el período 1 (es su propia derivada). $e^{-x}$ tendría el período 2.

Usando construcciones similares, puedo obtener una función que tiene un derivado del período$n$ al hacer$e^{x\cdot (1)^{1/n}}$

¿Es esta la única forma de obtener derivados periódicos?

Nota: Estoy tratando el pecado y cos como casos especiales de esto cuando$n=4$

¿Hay alguna prueba en este sentido?

Answer 1

Suponer$f^{(n)}(x)=f(x)$ para todos$x$. Deje$g(x) = \sum_{k=0}^{n-1}\xi^{-k} f^{(k)}(x)$, donde$\xi^n=1$. Entonces $g'(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\xi^{-k} f^{(k+1)}(x) = \xi\sum_{k=1}^{n}\xi^{-k} f^{(k)}(x)=\xi g(x)$. Ya conocemos todas las soluciones de$y'=c y$ y concluimos que$g(x)=a e^{\xi x}$.

Si adicionalmente asumimos que$\xi$ es primitivo , encontramos para$0\le m<n$ que$$ \sum_{k=0}^{n-1}\xi^{-mk} f^{(k)}(x)= a_m e^{\xi^m x}$ $ Agregar todas las ecuaciones conduce a$$n f(x) = \sum_{m=0}^{n-1} a_m e^{\xi^m x}.$ $