Un hexágono convexo$ABCDEF$ es tal que se mantienen las siguientes igualdades$AD=BC+EF, BE=AF+CD, CF=DE+AB$. Demuestre que$$\frac{AB}{DE}=\frac{CD}{AF}=\frac{EF}{BC}$ $
No sé cómo comenzar a resolver este problema.
Respuesta
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Vamos $X = BE \cap CF$, $Y=CF \cap AD$, y $Z=AD \cap BE$. Deje $T$ ser un punto tal que $BCTE$ es paralelogramo.
A continuación,$ET=BC$$CT=BE$. Buscando en el cuadrilátero $CTEF$ tenemos $$CF < CT + TE + EF = BE + BC + EF = BE + AD.$$ De forma análoga podemos demostrar que $$AD < BE + CF \mathrm{\ \ and \ \ } BE < CF + AD,$$ por lo tanto, no existe un triángulo con lados de longitudes $AD, BE, CF$.
Así que vamos a $KLM$ ser un triángulo con $LM=AD, MK=BE, CF=KL$.
Desde $CF=KL$, $CT = MK$, y $FT \le EF + ET = AD = KM$, nos encontramos con que $\angle TCF \le \angle LKM$. Desde $BE \parallel CT$,$\angle EXF = \angle TCF$. Por lo tanto $$\angle EXF \le \angle LKM.$$
De forma análoga podemos obtener $$\angle CYD \le \angle MLK \mathrm{\ \ and \ \ } \angle AZB \le KML.$$
Sumando los rendimientos $\pi \le \pi$, por lo tanto, tenemos las igualdades en todas las desigualdades anteriores.
En particular, $EF+ET=FT$ $E$ se encuentra en el segmento de $FT$. Por lo tanto $$\angle CFT = \angle MLK = \angle CYD$$ lo que significa que $AD \parallel EF$. De forma análoga $AD \parallel BC$, $AB \parallel CF \parallel DE$, y $CD \parallel BE \parallel AF$.
Por lo tanto $ABCY$, $DEFY$ son paralelogramos. En particular $AB=CY$, $DE=YF$, $DY=EF$, y $YA=BC$. Tenemos $$\frac{AB}{DE} = \frac{CY}{YF} = \frac{CD}{AF} = \frac{DY}{YA} = \frac{EF}{BC},$$ donde la segunda y la tercera igualdad se sigue de la similitud de $CYD$$FYA$.
