Ecuación de exponente en cubos

Question

%#% $ De #% resolver la ecuación

¿Tengo la respuesta al problema, en el que evalué la expresión entera (que era muy difícil) que era $$\left(2 · 3^x\right)^3 + \left(9^x − 3\right)^3 = \left(9^x + 2 · 3^x − 3\right)^3$ y $0$, existe una manera de resolver este problema de una manera menos tediosa?

Answer 1

Tenga en cuenta que toda la ecuación es de la forma $$ a^3 + b^3 = (a+b)^3 $$ con $a = 2\cdot 3^x$$b = 9^x - 3$. Esto se reduce a $$ 0 = 3a^2b + 3ab^2\\ 0 = 3ab(a+b) $$ que tiene las tres soluciones $a = 0$, $b = 0$, o $a+b = 0$. Claramente, $a = 0$ no puede suceder. $b = 0$ $9^x = 3$ , que tiene la solución a $x = \frac12$. Finalmente, $a+b = 0$ significa $$ 2\cdot 3^x + 9^x - 3 = 0\\ (3^x)^2 + 2\cdot 3^x - 3 = 0\\ 3^x = \frac{-2\pm\sqrt{2^2 - 4\cdot 1\cdot (-3)}}{2} = -1\pm 2 $$ Desde $3^x$ no pueden ser negativos, sólo podemos mantener $3^x = 1$, lo que da $x = 0$.

Answer 2

En primer lugar, tomar $z=3^x$. Así, se obtiene la ecuación: % $ $$(2z)^3 + (z^2 − 3)^3 = (z^2 + 2z − 3)^3.$Intentalo con factor utilizando su método favorito (Rufini, por ejemplo), de modo que obtienes: resolver % $ $$z (z - 1) (z + 3) (z^2 - 3)=0.$$z$y los use para calcular $x$ saber que $z=3^x$.

Answer 3

Sugerencia. El lado izquierdo es la suma de dos cubos y $$ a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2). $$

Answer 4

Con $t:=3^x$ y la factorización por @Arthur ($(a+b)^3-a^3-b^3=3ab(a+b)$), la ecuación es equivalente a

$$t(t^2-3)(t^2+2t-3)=t(t-\sqrt 3)(t+\sqrt 3)(t-1)(t+3)=0.$$

Sólo el positivo $t$ dar una solución y tenemos inmediatamente

$$x=\frac12\text{ or }x=0.$$

Answer 5

Sugerencia: Puede utilizar la identidad $$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $$ en el lado izquierdo.

Preferentemente después dejas $3^x=a$.