¿Para cuántos enteros positivos $n$ es $4^n − 1$ un número primo?

Question

Esta fue la pregunta inicial y uno de los métodos de trabajo de que se incluyen este:

El segundo método utiliza el hecho de al $n$ es un número entero positivo $x − 1$ es un factor de $x^n − 1$, ya que, por $n ≥ 2$, $$x^n − 1 = (x − 1)(x^{n−1} + x^{n−2} + \ldots + x + 1).$$

Por lo tanto, poner a $x = 4$, podemos deducir que, para cada entero positivo $n, 3$ es un factor de $4^n − 1$. Por lo tanto, $4^n −1$ no es primo, excepto cuando se $n = 1$$4^n −1 = 3$. Tan sólo existe un entero positivo $n$ que $4^n − 1$ es un número primo.

Sin embargo, no entiendo el método inicial y cómo se deduce que $x-1$ es un factor de $x^n - 1$

Answer 1

Para la pregunta en cuestión, si $P(x)$ es un polinomio y $P(r)=0$, $P(x)=(x-r)Q(x)$ para algunos polinomio $Q$. Si los coeficientes de $P$ $r$ son todos los números enteros, entonces los coeficientes de $Q$ son también todos los números enteros.

El caso específico de $x^n-1$ podría ser mejor comprendido por ejemplo:

$$\begin{align} (x-1)(x^3+x^2+x+1) &=(x-1)x^3+(x-1)x^2+(x-1)x+(x-1)\\ &=(x^4-x^3)+(x^3-x^2)+(x^2-x)+(x-1)\\ &=x^4+(x^3-x^3)+(x^2-x^2)+(x-x)-1\\ &=x^4-1 \end{align}$$

El paso clave es la "telescópica" reordenamiento de los paréntesis. Esta es una técnica estándar (aka truco) al trabajar con sumas y de la serie; se encontrará en ella una y otra vez. (El término "telescópica" se refiere a estilo antiguo spyglasses, como se puede ver en las películas de piratas, que se hunden hacia abajo de forma compacta.)

Otro, posiblemente más fácil, manera de ver que $n=1$ es el único exponente de que $4^n-1$ es el primer:

$$4^n-1=2^{2n}-1=(2^n-1)(2^n+1)$$

Answer 2

Saber que $x-1$ es un factor de $x^n-1$ algo es una cuestión de experiencia. Surge a menudo en varios problemas o teoremas, y es algo que te te acostumbras. Un par de maneras de hacerlo:

1. Recordemos que $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. La identidad en su pregunta es una generalización de esto.
2. Creo que el % fórmula geométrica $1+x+\ldots+x^n = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. Multiplicando ambos lados por $1-x$ le da la identidad.

Answer 3

No entiendo el método inicial y cómo se deduce que $x-1$ es un factor de $x^n - 1$

Lo más probable es que no deducir de ella pero recordaba . Es un estándar de la primaria y el resultado (la suma de una progresión geométrica) que $$\sum_{i=0}^n r^i = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$$

El hecho de que $x-1$ es un factor de $x^n - 1$ también se sigue inmediatamente de conocido identidad de polinomios cyclotomic, $$x^{n}-1 = \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)$$ since $\Phi_1(x) = x - 1$.