Hola a todos
He visto la siguiente pregunta de la que no podía resolver, así que pensé que yo pueda compartir la cuestión con usted y le pide ayuda.
Pregunta: Vamos a $f:[0,1]\to [0,1]$ ser una función continua tal que $f(0)=0$$f(1)=1$. Por otra parte asuma $f^{-1}(\{x\})$ es finita para todas las $x$. Probar
$$E:=\{x\in [0,1]: |f^{-1}(\{x\})|\,\mbox{ is even} \}$$
es contable.
La construcción de mi comentario: Para un máximo local $y$ con el valor de la función $f(y)$, vamos a $\rho(y)$ ser el radio dentro del cual todos los valores de la función son menos de $f(y)$. Deje $\rho_n=1/n$, y consideran que el local maxima con $\rho_n\ge\rho(y)>\rho_{n+1}$. No puede haber más de $n$ de estos, ya que sus radios no pueden superponerse. Así podemos enumerar todos los máximos locales (y de forma análoga todos los mínimos locales).
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