Número de diferentes puntuaciones de juego posible en un juego con preguntas números

Question

En un juego de preguntas, los jugadores reciben 5 puntos por cada respuesta correcta, 2 puntos por no contestar, y 0 puntos por cada respuesta incorrecta. Si hay n preguntas, encontrar una manera de determinar cuántas de las puntuaciones posibles hay.

Estoy pensando que esto no es tan difícil como creo que es. Todos los números pares son un múltiplo de 2, y los números impares ≥5 se dan por 5 + múltiplos de 2. Sería todos los números enteros entre la puntuación máxima posible (5n) y 0, de descarte de las puntuaciones de 1 y 3? Incluso de esta manera, aunque, no sé cómo el 0 puntos por cada respuesta incorrecta se incorporarían.

Edición: 1 y 3 no funcionan. Creo 5n -1 , 5n - 2, 5n - 4 y 5n-7 no trabajan para un total de 6 de las soluciones que no funcionan? Así 5n - 6

Answer 1

En una prueba con $n$ preguntas, la puntuación será de entre 0 y $5n$, por lo que hay en la mayoría de las $5n+1$ posibilidades.

Como se observó anteriormente, las puntuaciones de 1 y 3 no son posibles en los "malos" fin del rango de calificación. Si nosotros en lugar de considerar el "buen" fin de la posibilidad de altas puntuaciones, se puede observar la siguiente. Para cualquier pregunta no contestada perdemos 3 puntos, y por cada respuesta incorrecta se nos pierde 5 puntos. Así, las puntuaciones $$5n - 1,\, 5n-2,\, 5n-4, \quad\text{and} \quad5n-7$$ no son posibles, ya que los números $1, 2, 4,$ $7$ no puede ser escrita como una suma de $3$'s y $5$'s.

En todos los hemos encontrado 6 resultados que no son posibles: 2 en el "malo" de la gama, y 4 en la "buena" de la gama. Si estamos, además, asumir que $5n - 7 > 3$, es decir,$n > 2$, que de hecho son 6 distintas puntuaciones que no son posibles por lo que hay en la mayoría de las $5n-5$ los resultados que son posibles.

Voy a hacer la afirmación de que todo el resto de las $5n-5$ los resultados son posibles, y salir de esta prueba como un ejercicio.

Por lo tanto la respuesta es $5n-5$ al $n\geq 3$, y el resto de los casos se pueden calcular por separado: 6 posibilidades con 2 preguntas y 3 posibilidades con 1 pregunta.

Answer 2

Como usted dice, usted no puede conseguir a $1$ o $3$. Usted no puede conseguir a $5n-1$ debido a que requeriría $n-1$ respuestas correctas y dos no-respuestas de un total de $n+1$ preguntas. Usted no puede conseguir a $5n-2$ debido a que requeriría $n-2$ respuestas correctas y $4$ sin respuestas para un total de $n+2$. Usted puede obtener $5n-3$ $n-1$ respuesta correcta y una no-respuesta. Usted también no puede llegar a $5n-4$, lo que llevaría $n-2$ respuestas correctas y $3$ no respuesta o, incluso,$5n-7$. Todos los otros puntajes de $0$ a través de $5n$ son alcanzables, por lo que hay $5n-5$ puntuaciones posibles mientras $n \ge 3$. Un algoritmo voraz que funciona aquí. Para cualquier puntaje $k$ bastante $2$s para obtener la puntuación a un múltiplo de $5$, entonces bastantes respuestas correctas para obtener la necesaria total, y finalmente bastante respuestas equivocadas a rellenar $n$ preguntas.

Answer 3

Si usted está buscando para el número de posibles puntuaciones como se indica en su primer párrafo, en lugar de todos los literales de los valores de punto usted podría utilizar combinaciones:
durante las primeras 4 preguntas de esta fórmula se traduce simplemente a las combinaciones fórmula sin repetición: $$ \frac{(r+n-1)!}{r!(n-1)!)} $$ Esta fórmula es el elegido en lugar de una permutación de la fórmula, ya que el orden en el cual se consigue de puntuación diferentes posibilidades no importa, y que son capaces de obtener repeticiones de la misma puntuación. nota: n en este ejemplo no es igual a "n" preguntas, voy a usar "r" para las preguntas.

Para probar si funcionaba más tarde y para hacer más fácil - gire a la puntuación de n posibilidades en las variables:

5 puntos=Un
2 ponts = B
0 puntos = C
n=3 posibilidades de puntuaciones, o n=3
hay 3 posibilidades para cada r preguntas. permite el uso de dos ejemplos

EJEMPLO 1: 2 preguntas
n=3
r=2
$$ \frac{(2+3-1)!}{2!(3-1)!)}=6 $$ usted puede probar esto mediante la comprobación de las combinaciones de puntos mediante el uso de las variables asignadas desde arriba:
1: AA =10 puntos
2: AB, BA= 7 puntos
3: CA, CA =5 puntos
4: BB =4 puntos
5: BC, CB =2 puntos
6: CC =0 puntos
Nota: incluso si usted intercambio en torno a estas variables que usted todavía consigue los mismos puntos.. AB=BA=7 puntos

EJEMPLO 2: 4 preguntas
n=3
r=4
$$ \frac{(4+3-1)!}{4!(3-1)!)}=15 $$

Hay casos especiales:

para el 5, 6 y 7 preguntas de las puntuaciones posibles son:
5 preguntas =20
6 preguntas = 25
7 preguntas = 30

porque después de 4 preguntas, las diferentes combinaciones que puede acabar resultando en el mismo número de puntos.

para cada n>=4, la fórmula es:
5(n-1)