Soluciones de $a^{a^x}=x$ % fijo $a>0$

Question

Estoy interesado en la ecuación de $a^{a^x}=x$ fijos $a>0$. Hay alguna manera de reorganizar para $x$ o resolver de otra manera? ¿Qué acerca de la naturaleza de las soluciones? Para que fija $a>0$ hay soluciones reales $x>0$, y cuántos?

Ya he trabajado con la ecuación de $a^x=x$ y puedo lidiar con eso. He aprendido de los comentarios que de una real solución para $a\le e^{1/e}$ y está dada por

$$x=-\frac{W(-\ln(a))}{\ln(a)}$$

con la función W de Lambert. Pero la ecuación anterior está fuera de alcance para mí.

Answer 1

Comentario: aún no tengo una forma cerrada de la fórmula para el que ocurren fixpoints, pero para poner los comentarios anteriores juntos y darle, al menos, un simple procedimiento de cálculo para determinar el adicional fixpoints.

1. ) A "symmetrize" la fórmula se observa, que podemos escribir $$(a^x)^{(a^x)} = x^x \tag 1$$ Esto hace aún más evidente, que el $f(x)=a^{a^x}$ tiene el mismo fixpoints como $g(x)=a^x$ (Tenemos $f(x)=g(g(x))$, por lo que este es, por supuesto, básicamente, obvio).
   .
   Deje $t= \exp(-W_0(-\log(a)))$ $a=t^{1/t}$ $(t^{1/t})^t=t^1=t$ $t$ es un punto fijo (puede ser complejo).

2. ) Por una trama nos encontramos en cuatro rangos de $a$ comportamiento diferente. $$\begin{array} {} (1)& e^{1/e}& <a &<\infty & 0 \text{ real fixpoint for %#%#% and %#%#% } \\ (2)& e^{1/e} &= a & & 1 \text{ real fixpoint for %#%#% and %#%#% } \\ (3)& 1 &< a &< e^{1/e} & 2 \text{ real fixpoints for %#%#% and %#%#% } \\ (4)& e^{-e} &\le a & \le 1 & 1 \text{ real fixpoint for %#%#% and %#%#% } \\ (5)& 0 &< a & < e^{-e} & 1 \text{ real fixpoint for %#%#% and %#%#% } \\ & & & & \text {and %#%#% more real fixpoints for %#%#% } \end{array} \tag 2$$

3. ) Donde sea posible, el "estándar" real punto fijo $g(x)$ se calcula utilizando la LambertW el uso de $f(x)$ y en el caso de (3) encontramos otra con $g(x)$. Para el caso 5 se puede encontrar a los otros dos fixpoints $f(x)$ (inferior),$g(x)$ (superior) por la siguiente rutina

Pseudocódigo:

let a=0.01
let u=0, v=1 
for k=1 to 10: u, v = a^v, a^u : end  \\ to approximate initially 
\\ use Newton-algorithm to approximate second fixpoint to high precision
err=1 
while err>1e-200 
  err = (a^a^u - u )/(a^a^u * a^u * log(a)^2 - 1)
  u = u-err
wend
\\ find the third fixpoint v
v = a^u

Ejemplo: Para la base $f(x)$ I encontrar el primer punto fijo para $g(x)$ $f(x)$ utilizando el Lambert $g(x)$-función como $f(x)$ .
En los otros dos fixpoints para$2$$f(x)$$t$ .

4. ) Tenemos para las bases de la carcasa (5)
   $$\grande \begin{array} {} a^{a^t}=t & a^{a^u}=u &a^{a^v}=v & \small \text{all are fixpoints of %#%#% }\\ a^t = t &a^u = v & a^v = u \\ a=t^{1/t} &a = u^{1/v} & a = v^{1/u} \end{array}$$

Tal vez a partir de la última equalitites se puede derivar más expresiones cerradas utilizando Lambert W...

Imagen de los tres fixpoints para bases de $W_0(x)$ (lo siento que he utilizado "b" en lugar de la "a" para la base, es uno de mis entrenados notación)

Answer 2

He encontrado una manera de reorganizar para $x$ que funciona para algunos $a$ y los rendimientos de alguna solución! Algunos riguroso análisis es necesario para entender completamente este procedimiento y para encontrar formas similares de las otras (real) soluciones (hay cero a tres). Yo todavía espero que esto te podría ayudar.

---

Así que vamos a empezar de$a^{a^x}=x$$a,x>0$, y el estado como Gottfried hizo como $(a^x)^{a^x}=x^x$. Existe el bien conocido manera de parametrizar algunas de las soluciones de $x^x=y^y$, que es

$$x=t^{\frac{1}{1-t}},\qquad y=t^{\frac t{1-t}}$$

para $t>0$. Entonces, para solucionar el problema anterior, se busca un valor de $t$ para los que tenemos

$$x=t^{\frac{^1}{1-t}},\qquad a^x=t^{\frac t{1-t}}.$$

La izquierda de la ecuación puede ser reorganizado para $t$ y obtenemos $t=\frac{W(x\log x)}{\log x}$. Cuando conectamos esta en la parte derecha nos encontramos

$$a^x = \left(t^{\frac 1{1-t}}\right)^t=x^t=x^{\frac{W(x\log x)}{\log x}}\quad\Rightarrow\quad a=x^{\frac{W(x\log x)}{x\log x}}=x^{\frac{W(u)}u}$$

con $u=x\log x$. Esto le da a $x=u/W(u)$ y

$$a=\left(\frac{W(u)}u\right)^{-\frac{W(u)}u}=z^{-z}$$

con $z=W(u)/u$. Podemos resolver para $z$ y, finalmente, encontrar

$$z=-\frac{\log a}{W(-\log a)}.$$

que puede ser utilizado para encontrar las $u$ través $u=-\log (z)/z$. La solución final podría ser algo como esto:

Solución. $$x =\frac{u}{W(u)} =\frac{-\frac{\log z}{z}}{W(-\frac{\log z}{z})} =\frac{\frac{\log \left(-\frac{\log}{W(-\log a)}\right)}{\frac{\log}{W(-\log a)}}}{W} {\left(\frac{\log \left(-\frac{\log}{W(-\log a)}\right)}{\frac{\log}{W(-\log a)}}\right)}$$

Por supuesto, este monstruoso fórmula nunca debe ser usado. En lugar de utilizar el resubstituation como este:

$$z=-\frac{\log a}{W(-\log a)} \quad\to\quad u=-\frac{\log (z)}{z} \quad\to\quad x=\frac{u}{W(u)}.$$

Ejemplo. La elección de $a=1/2$ y la fórmula de arriba me dio la solución $x\approx 0.641186$, lo que, de hecho, resuelve $a^{a^{x}}=x$.

Yo también lo probé con $a=2$, lo que arrojó una solución compleja $x\approx 0.824679 - 1.56743i$ que trabajó, pero arrojar ninguna luz sobre si hay alguna otra real.

Gottfried se menciona en los comentarios de que no parece funcionar para, por ejemplo,$a=0.01$. Esta es la razón por la que más investigaciones son necesarias.

---

Gottfried insinuó mí el hecho de que esto puede ser simplificado (al menos para algunos $a$) a la función

$$x(a)=\exp(-W(-\log(a))).$$

Esto parece funcionar para todos los $a$ (en contraste con mi resubstituation la fórmula anterior), pero todavía proporciona una única solución. Tal vez las otras ramas de $W$ puede dar otras soluciones reales, pero no estoy seguro.