Estructura del anillo de la álgebra de Hecke

Question

Para cualquier localmente profinite grupo $G$ y su apertura compacto subgrupo $K$，se puede definir el hecke álgebra $H(G,K)$ como el espacio de una compacta compatible bi $K$-funciones invariantes en $G$ con convolución como producto de la operación.

Hecke el álgebra es muy importante en la teoría de la representación de $G$, y hay varios resultados sobre la conmutatividad de tales álgebra. Mientras que siempre se puede escribir una base para el álgebra, utilizando la característica de la función de doble coset, sé muy poco de la estructura de anillo. Por ejemplo, $H(GL_n(\Bbb Q_p),GL_n(\Bbb Z_p))$ es conmutativo, pero me pregunto qué es como un anillo.

Por lo tanto, hay algunos resultados acerca de la estructura de anillo? Hay algunos buenos ejemplos y aplicaciones de la explícita la estructura del anillo?

Answer 1

Como es típico en la teoría de la Mentira, si quieres encontrar un cálculo explícito, es mejor comenzar por comprobar si Macdonald escribió algo al respecto. En este caso, usted debe empezar por tener un vistazo a Esférica funciones en un $\mathfrak{p}$-ádico Chevalley grupo, disponible gratuitamente aquí

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183529627

Este breve artículo le da una explícita isomorfismo (Teorema 1'), desde el esférico Hecke álgebra $L(G,U)$ de forma compacta compatible, continua, $U$-bi-invariante funciones de $G$ $\mathbf{C}$ % # % donde $\mathbf{C}[P^\vee]^W$ es un Chevalley grupo, $G$ es la máxima compacto subgrupo, $U$ es el coweight celosía, $P^\vee$ es el grupo de Weyl, así que por Bourbaki (Capítulo 6 de la Mentira de grupos y álgebras de Lie), $W$ es un polinomio anillo en $\mathbf{C}[P^\vee]^W$ generadores.

Así que, aunque no directamente a la dirección de su pregunta (sólo desde $r=\mathrm{rk}(G)$ es reductiva pero no es semisimple), usted encontrará que es más fácil de leer de su libro Simétrica funciones y Sala de polinomios, que contiene el material pertinente para el grupo lineal general (en el que caso de que el esférico Hecke el álgebra es el álgebra de polinomios simétricos).