Calcular el límite de la serie de potencias fraccionarias: $\lim_{n\to\infty}\frac{1+{1.5}^{\frac1n}+{1.5}^{\frac2n}+\cdots+{1.5}^{\frac{n-1}n}}n$

Question

Calcular el límite

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1+{1.5}^{\frac{1}{n}}+{1.5}^{\frac{2}{n}}+\cdots+{1.5}^{\frac{n-1}{n}}}{n}$$

Tiene $1.23315\ldots$ de programación informática, pero existe alguna forma para obtener el resultado exacto?

Answer 1

El numerador es sólo una serie geométrica de la común relación $1.5^{1/n}$ y se computación

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1.5-1}{n(1.5^{1/n}-1)}=\frac{0.5}{\log 1.5}\approx1.233151731\cdots$$

por una alternativa definición propiedad del logaritmo (o L'Hospital).

Answer 2

$$ \lim _ {n\to \infty} \frac {1 + 1.5 ^ {\frac 1 n} + 1.5 ^ {\frac 2 n} + \cdots + 1.5 ^ {n \frac {n-1}}} n = \lim_{n\to\infty} \frac 1 \sum_{k=1}^n n 1.5 ^ {(k-1)/n} \\ = \int_0^1 1.5 ^ x \, dx = \frac {1.5 ^ x} {\ln 1.5} \Bigg|_0^1 = \frac {0,5} {\ln 1.5} $$

Answer 3

Se trata de una suma de Riemann para

$$\int_0^1 1.5^x \, dx = \frac{1}{2\ln 3/2} \approx 1.23315.$$