Problema de calidad en análisis

Question

Estoy teniendo problemas con el siguiente problema de calidad. Alguna ayuda sería increíble. Gracias.

Que $f$ es una función medible en $(0, ∞).$ que $p > 1/2$ y definir $g(x) = (x^p + x^{−p})f(x).$ Mostrar eso si $g ∈ L_2(0,∞)$ y $f ∈ L_1(0,∞).$

Answer 1

Cauchy Schwarz:

$$\int_0^\infty |f(x)| dx = \int_0^\infty \frac{|g(x)|}{x^p + x^{-p}} \leq \left( \int_0^\infty |g(x)|^2 dx \right)^{1/2} \cdot \left(\int_0^\infty \frac{1}{(x^p+x^{-p})^2} dx \right)^{1/2} < \infty$ $ cuando $p > 1/2$.