¿Cuál es la base de la álgebra Universal de la envoltura de su(2)?

Question

Dado que el estándar de la base de la Mentira álgebra $\mathfrak{su}(2)$ de SU(2), $\{i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3\}$ donde

$\sigma_1=\Biggl(\begin{array}{cc} 0&1\\ 1&0\end{array}\Biggr),\quad\sigma_2=\Biggl(\begin{array}{cc} 0&-i\\ i&0\end{array}\Biggr),\quad\sigma_3=\Biggl(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1\end{array}\Biggr),$

Quiero encontrar una base para el universal que envuelve álgebra, $\mathcal{U}(\mathfrak{su}(2))$. Por la de Poincaré-Birkoff-Witt Teorema creo que hemos

$\{i\sigma_1,i\sigma_2,i\sigma_3,-i\sigma_1\sigma_2,-i\sigma_1\sigma_3,-i\sigma_2\sigma_3,-i\sigma_1\sigma_2\sigma_3\}$,

en otras palabras, todos ordenados lexicográficamente monomials. Sin embargo, debido a que los productos de las matrices de Pauli son las matrices de Pauli (ie $\sigma_1\sigma_2=i\sigma_3$) parecería que las dos álgebras tienen la misma base, solo con la Mentira de soporte de $[,]$ reemplazado con la multiplicación de la matriz. Alguien me puede decir si esto es correcto?

Answer 1

Usted está confundido en un par de puntos:

(1) La de Poincaré-Birkoff-Witt base es el conjunto infinito $$(i \sigma_1)^a (i \sigma_2)^b (i \sigma_3)^c \ \mbox{for} \ a,\ b,\ c,\ \geq 0.$$ Se han incluido en la lista sólo los casos en los que $a$, $b$ y $c$ $0$ o $1$.

(2) La relación $\sigma_1 \sigma_2 = i \sigma_3$ no posee en $U(\mathfrak{su}_2)$. Que la relación se mantiene en el estándar de representación bidimensional de $\mathfrak{su}_2$, pero no se mantiene en (por ejemplo) el $3$ dimensiones de la representación. Las relaciones en $U(\mathfrak{su}_2)$ son los que tienen en todas las representaciones de $\mathfrak{su}_2$. (Se te queda claro en lo que es una representación de una Mentira álgebra significa?)