Cómo calcular $\prod\limits^{\infty}_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1}$

Question

¿Cómo calcular $$\prod^{\infty}_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1}\ ?$$

Mi trabajo :

$$\prod^{\infty}_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1}= 1 - \prod^{\infty}_{n=2}\frac{2}{n^3+1} = 1-0 = 1$$

¿Es correcto?

Answer 1

Respuesta mágica:

Sea $f(n) =\dfrac{n(n-1)}{n^2-n+1}$. Entonces muestra que $f(n+1) = \dfrac{n(n+1)}{n^2+n+1}$ y así $$\frac{f(n)}{f(n+1)} = \frac{n(n-1)(n^2+n+1)}{n(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n^3-1}{n^3+1}$$

(Llamo a esto una "respuesta mágica" solo porque la mayoría de las otras respuestas aquí te dan razones de cómo verías esto, mientras que yo solo pongo una $f$ que funciona, como por arte de magia. Realmente es el mismo argumento que los demás, solo destilado a una esencia minimalista.)

Answer 2

CONSEJO:

Si $$t_n=\frac{n^3-1}{n^3+1}=\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}$$

$$t_{n+1}=\frac{n\{(n+1)^2+n+1+1\}}{(n+2)\{(n+1)^2-(n+1)-1\}}=\frac{n\{(n+1)^2+n+1+1\}}{(n+2)(n^2+n+1)}$$

y $$t_{n-1}=\frac{(n-2)\{(n-1)^2+n-1+1\}}{n\{(n-1)^2-(n-1)-1\}}=\frac{(n-2)(n^2-n+1)}{n\{(n-1)^2-(n-1)-1\}}$$

---

Alternativamente, sea $\displaystyle u_n=\frac{n-1}{n+1},v_n=\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}$ de modo que $t_n=u_n\cdot v_n$

$$\implies\prod_{2\le n\le r}u_n=\frac{1\cdot2\cdot3\cdots(r-2)(r-1)}{3\cdot4\cdot5\cdots r(r+1)}\frac2{r(r+1)}$$

$$\implies\prod_{2\le n\le r}v_n=\frac{7\cdot13\cdot21\cdots(r^2-r+1)(r^2+r+1)}{3\cdot7\cdot13\cdots \{(r-1)^2-(r-1)+1\}(r^2-r+1)}=\frac{r^2+r+1}3$$

$$\implies\prod_{2\le n\le r} t_n=\left(\prod_{2\le n\le r}u_n\right)\left( \prod_{2\le n\le r}v_n\right)=\frac{2(r^2+r+1)}{3r(r+1)} $$

Estableciendo $r\to\infty,$ $\displaystyle \frac{2(r^2+r+1)}{3r(r+1)}=\frac23\lim_{r\to\infty}\frac{1+\frac1r+\frac1{r^2}}{1+\frac1r}=?$

Answer 3

Ten en cuenta que $${n^3 - 1 \over n^3 + 1} = {n - 1 \over n + 1}{n^2 + n + 1 \over n^2 - n + 1}$$ También ten en cuenta que $$(n-1)^2 + (n - 1) + 1 = n^2 - n + 1$$ Por lo tanto, el producto infinito en cuestión es realmente el producto de dos productos telescópicos.

Answer 4

$$\dfrac{r^3-a^3}{r^3+a^3}=\dfrac{r-a}{r+a}\cdot\dfrac{r^2+ra+a^2}{r^2-ra+a^2}$$

Dejemos que $f(r)=r^2-ra+a^2$

$$f(r+h)=(r+h)^2-(r+h)a+a^2=r^2+r(2h-a)+a^2-ah$$

Si establecemos que $r^2+ra+a^2=f(r+h),$

$$r^2+ra+a^2=r^2+r(2h-a)+a^2-ah$$

Comparando los coeficientes de $r,$ $$a=2h-a\iff h=a$$

Comparar las constantes $a^2=a^2-ah+h^2\iff h(h-a)=0$

$\implies h=a,$ $$r^2+ra+a^2=f(r+a)$$

$$\dfrac{r^3-a^3}{r^3+a^3}=\dfrac{f(r+a)}{f(r)}\cdot\dfrac{g(r-2a)}{g(r)}\text{ donde } g(m)=m+a$$

Claramente $$\prod_{r=1}^n\dfrac{f(r+a)}{f(r)}\cdot\dfrac{g(r-2a)}{g(r)}$$ telescopia para un entero finito $a$