Combinaciones y permutaciones: 3 letras, repetir exactamente tres veces

Question

Si tengo tres letras, A, B y C, y quiero usar cada letra exactamente tres veces (9 plazas), ¿cuál es la probabilidad de que tire al azar de una cadena de nueve letras que empieza con ABC?

Necesito ayuda para averiguar

1. Cómo saber cuántas posibilidades hay para nueve lugares, tres letras que pueden repetirse exactamente tres veces
2. Cuál es la probabilidad de que mi cadena al azar seleccionado comenzará con ABC.

Answer 1

Número total de posibilidades es $T=\frac{9!}{3!3!3!}$. Número de casos donde la cadena empieza con "ABC" es $S=\frac{6!}{2!2!2!}$. Así que la probabilidad es $\frac{S}{T}$. Todo esto viene de la fórmula básica que si tenemos $n$ artículos con $r_1$ de un tipo, $r_2$ de otro y así sucesivamente tal que $r_1+r_2+...r_k=n$. Entonces se da número de permutación distinta de estos artículos de $n$ $\frac{n!}{r_1!r_2!...r_k!}$.

Answer 2

Hay maneras de $9!$ $9$ objetos de arreglar. Si $3$ es iguales, entonces $1/3!=1/6$ de éstos será el mismo. Considere por ejemplo $\{a_0,a_1,b\}, \{a_1,a_0,b\}, \{a_0,b,a_1\}, \{a_1,b,a_0\}, \{b,a_0,a_1\}, \{b,a_1,a_0\}$. Hay posibilidades de $3!=6$, pero si dejamos $a_1=a_0$, entonces sólo tenemos posibilidades de #% de #% %, que es $3$. Así que con $3!/2!$ hay posibilidades de $\{A,A,A,B,B,B,C,C,C\}$.

De éstos, $9!/(3!3!3!)=1680$ Inicio con un $3/9=1/3$, de estos $A$ tener un $3/8$ en segundo lugar, y $B$ tienen un $3/7$ tercero. Así que la respuesta final es $C$.