Relación entre momentos de una variable aleatoria

Question

Deje $X$ ser una variable aleatoria continua con densidad de $\rho(x)$. Suponga que $X$ es simétrica y $\vert X\vert<L$. Ya que tiene un almacén de apoyo, todos los momentos de la $X$ están bien definidos. Deje $m_i$ denotar el momento en $i$$X$, es decir, $$ m_i = \int_{-L}^{L} x^i \rho(x) dx. $$

Hay alguien sabe si la siguiente afirmación es verdadera o no? $$ \frac{m_2}{2!}\veces \frac{m_{4k}}{4k!}\geq \frac{m_{4k+2}}{(4k+2)!}. $$ para $k\geq 1$. Nótese que se puede reescribir la ecuación anterior como $$ {4k+2\elegir 2} m_2m_{4k}\geq m_{4k+2}. $$ El por Encima de la recursividad es cierto para algunas distribuciones comunes, tales como la distribución uniforme y la distribución Gaussiana (aunque no tiene un almacén de apoyo), pero podemos decir, en general, si que es verdad?

Si no, ¿cuáles son las condiciones necesarias para hacer realidad? Por ejemplo, si $m_2>L^2/15$, entonces es cierto. Pero, ¿hay alguna otra condición disponible con menos restricciones?

Answer 1

Si $f(x)=\frac12a|x|^{a-1}$$|x|\leqslant1$, $m_{2k}=\frac{a}{a+2k}$ para cada entero $k$ por lo tanto $m_{2k}\sim\frac{a}{2k}$ al $a\to0$ y $$ {4k+2\elegir 2}\frac{m_2\,m_{4k}}{m_{4k+2}}\sim c_ka, $$ para algunos $c_k\gt0$. En particular, cuando se $a$ es lo suficientemente pequeño, la proporción es de $\lt1$.

Si la condición en que la densidad se define por todas partes y continua es importante, considerar que el truncamiento de $f$ en el nivel $h$, normaliza. Entonces, por la continuidad, la proporción es de $\lt1$ $h$ lo suficientemente grande. Asimismo, modificar $f$ $x=\pm1$ sea continua en todas partes.