Cómo evaluar esta suma infinita? $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Amr
Puntos
12840
Sí. Lo he encontrado. Se llama el Erdős-Borwein Constante.
$$E=\sum_{n\in Z^+}\frac{1}{2^n-1}$$
Verificación http://mathworld.wolfram.com/Erdos-BorweinConstant.html
Según la página, Erdős demostró que es irracional.
Creo que quieres ver esto:
Ramanujan los Cuadernos de la Parte I
Haga clic en mí y tratar de Entrada de $14$ (ii) / pag 146 donde se establece el $x=\ln2$
Chris.
cyclochaotic
Puntos
763
$$ \displaystyle \sum _{k=1}^n \frac{1}{\left(\frac{1}{q}\right)^k-\frac{1}{r}}=\frac{r}{\log (q)} \left(\psi _q^{(0)}\left(1-\frac{\log (r)}{\log (q)}\right)-\psi _q^{(0)}\left(n+1-\frac{\log (r)}{\log (q)}\right)\right) $$
En el intento de obtener Mathematica para resolver la serie, al final encontré el formulario anterior que se supone $0<q<1$. Si tomamos $q=1/2$, $r=1$ y vamos a n enfoque infinito, se obtiene la misma solución que Amr referencias. La suma parcial solución utiliza la función, $\psi _q^{(n)}(z)$.
$$ \displaystyle \lim_{n\to \infty } \, \frac{1}{\log (1/2)}\left(\psi _{\frac{1}{2}}^{(0)}(1)-\psi _{\frac{1}{2}}^{(0)}(n+1)\right)=1+\frac{\psi _{\frac{1}{2}}^{(0)}(1)}{\log (1/2)}=E $$
Jorrit Reedijk
Puntos
129
(Esto no se entiende como una respuesta pero es demasiado largo para el comentario.el cuadro)
Ya que usted menciona de interés en las variaciones del problema: aquí es un texto, en el que L. Euler hablado de que la suma:
"Consideratio quarumdam serierum quae singularibus proprietatibus sunt praeditae" ("la Consideración de algunas de las series que se distinguen por propiedades especiales")
L. Euler Eneström-índice de E190.
Usted puede encontrar en línea.
Una mayor discusión de este por el Prof. de Ed Sandifer, donde se arroja luz sobre un debate muy interesante acerca de un "falso serie para el logaritmo", en la que la constante aparece (y que en realidad tenía me señaló originalmente a L. Euler del artículo):
Una falsa logaritmo de la serie (Discusión de E190)
Ed. Sandifer en: "¿Cómo Euler hizo" de diciembre de 2007
http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2050%20false%20log%20series.pdf
He tocado el violín, a continuación, con mí mismo un poco más allá, tal vez usted encontrará que los aficionados exploraciones interesantes también. La constante es parte de una consideración en la página 5.
