Caracterización de conjuntos con una función

Question

Dado un conjunto de $A=\{z_1,\ldots,z_n\},\epsilon>0$ donde $z_i \in \mathbb{N}$, me gustaria saber si hay una manera fácil de elegir números $0<\lambda_1,\ldots,\lambda_n<\epsilon$ explícitamente que todos los subconjuntos $T\subseteq\{1,\ldots,n\}$ que tenemos los números

$$f(T)=\sum_{t \in T}\sqrt{z_{t}+\lambda_{t}}$$

¿son parejas diferentes? Si es $f(T)\neq f(T')$ $T \neq T'$.

La raíz cuadrada parece hacer cosas difíciles, de lo contrario uno podría elegir algo así como $\lambda_i=2^{-i -k}$ $k>0$ constante.

Answer 1

Que % $ $$\lambda_{t}=2\sqrt{z_{t}}2^{-i-k}+2^{-2i-2k}$donde $k>0$ es algo constante. Entonces para $k$ suficientemente grandes, sin embargo tenemos que $0<\lambda_{t}<\epsilon.$, $$\sqrt{z_{t}+\lambda_{t}}=\sqrt{z_{t}}+2^{-t-k},$ $ y $$\sum_{t\in T}\sqrt{z_{t}+\lambda_{t}}=\sum_{t\in T}\sqrt{z_{t}}+\sum_{t\in T}2^{-t-k}.$$ The above can be viewed as two sums, $\Sigma_1$ and $\Sigma_2$. The idea is that if we choose $k$ large enough, then $\Sigma_1$ will not interact with $\Sigma_2$, and $\Sigma_2$ que garantiza la singularidad. Que %#% $ #% es decir que $$\kappa=\min_{T_{1}\neq T_{2}}\left\{ \sum_{t\in T_{1}}\sqrt{z_{t}}-\sum_{t\in T_{2}}\sqrt{z_{t}}\neq0\right\} ,$ ser la distancia mínima de distinto de cero entre diferentes %#% de #% y luego seleccione $\kappa$ a ser tan grande que $\Sigma_1$ entonces se sigue que las sumas %#% $ de #% será único para cualquier $k$.