Usted puede ver el texto original que pensé CA se utiliza aquí;
De Walter Rudin: Principios de Análisis Matemático, 3ª ed., ISBN 0-07-054235-X, p.41-42.
2.44 El conjunto de Cantor El conjunto que ahora vamos a construir muestra que existen perfecto establece en $R^1$ que no contienen ningún segmento.
Deje $E_0$ ser el intervalo de $[0, 1]$. Eliminar el segmento $(\frac13,\frac23)$, y deje $E_1$ ser la unión de los intervalos $$[0,\frac13], [\frac23,1].$$ Retire el medio tercios de estos intervalos, y deje $E_2$ ser la unión de la los intervalos de $$[0,\frac19], [\frac29,\frac39], [\frac69,\frac79],[\frac89,1]$$ Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia de conjuntos compactos $E_n$, de tal manera que
(a) $E_1\supset E_2 \supset E_3 \dots $;
(b) $E_n$ es la unión de $2^n$ intervalos, cada uno de longitud $3^{-n}$.El conjunto $$P=\bigcap_{n=1}^\infty E_n$$ es el llamado conjunto de Cantor. $P$ es claramente compacto, y el Teorema 2.36 muestra que $P$ no está vacío.
Ningún segmento de la forma $$\left(\frac{3k+1}{3^m},\frac{3k+2}{3^m}\right)\tag{24},$$ donde $k$ $m$ son enteros positivos, tiene un punto en común con $P$. Ya que cada segmento de $(\alpha,\beta)$ contiene un segmento de la forma (24), si $$3^{-m}<\frac{\beta-\alpha}6,$$ $P$ no contiene el segmento.
Para mostrar que $P$ es perfecto, es suficiente para demostrar que $P$ no contiene aislado punto. Deje $x \in P$, y deje $S$ ser cualquier segmento que contiene $x$. Deje $I_n$ ser que el intervalo de de $E_n$ que contiene $x$. Elija $n$ lo suficientemente grande, de modo que $I_n\subset S$. Deje $x_n$ ser un extremo de $I_n$, de tal manera que $x_n\ne x$.
De ello se deduce a partir de la construcción de la $P$ que $x_n\in P$. Por lo tanto $x$ es un punto límite de $P$, e $P$ es perfecto.
Uno de los más interesantes propiedades del conjunto de Cantor es que proporciona nosotros con un ejemplo de un innumerable conjunto de medida cero (el concepto de la medida será discutido en el Cap. 11).
Yo realmente no me gusta la definición de conjunto de Cantor en mi libro (Que define el conjunto de cantor mediante el uso de CA$_\omega$), por lo que traté de construir de forma más constructiva. (Que es, sin AC)
Deje $E_n = [0,1]\setminus \bigcup_{k\in 3^n}(3k+1/3^{n+1}, 3k+2/3^{n+1})$.
(Exponenciación aquí es un ordinal exponenciación)
Deje $C=\bigcap_{n\in \omega} E_n$.
He demostrado que los $C$ es no vacío, compacto y y $C$ no contiene el segmento.
Ahora, estoy tratando de probar que $C$ es perfecto, pero hay un problema.
Este es un lema que he realizado para probar esto; Deje $T_n = \{3k/3^{n+1}, 3k+1/3^{n+1}, 3k+2/3^{n+1}, 3k+3/3^{n+1} \in [0,1] | k\in 3^n \}$.
"Para todas las $n,m\in \omega$ si $n<m$,$T_n\subset T_m$.'
Ahora, fix$x\in C$$0<r\in \mathbb{R}$. Aquí, me han demostrado que no existe $m\in \omega$ tal que $x$ es en cierto intervalo de $I$ $E_m$ e las $I\subset B(r,x)$. Ahora vamos a $x'$ ser un extremo tal que $x'≠x$.
Por el lema anterior, $x'\in E_n$ por cada $m≦n$. Sin embargo, no sé cómo probar esto para $m>n$.
Lo he probado y demostrado que 'Si $m>n$ y la intersección de un intervalo de $I_n$ $E_n$ y un intervalo de $I_m$ $E_m$ es no vacío, la intersección es un conjunto de exactamente un extremo de $I_m$ o $I_m \subset I_n$. (Si se tiene, el otro no espera)'. Aquí, no tengo idea de cómo derivar una contradicción que 'si $x\in I_m \cap I_n$, $I_m \cap I_n$ NO es un singleton' ($x\in C$)
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