Yo calcula la factorización de $2^n-1$ muchas $n$'s y se llegó a la siguiente conjetura de que, por algún extraño prime $p$, $$ p^k || 2^n-1 \quad \Longleftrightarrow \quad O_p(2) p^{k-1} \, | \ n \quad \quad p^{k-1} \, || \, n. $$ donde $O_p(2)$ es el orden de $2 \pmod p$. Aquí están mis pensamientos sobre la cuestión.
Claramente necesitamos asumir $O_p(2) \, | \, n$ si $k \ge 1$, por lo que la instrucción puede ser más fácil de probar porque sólo tenemos que mostrar que en este supuesto, $p^k \, | \, 2^n-1$ fib $p^{k-1} \, | \, n$. Vamos a probar a $(\Longleftarrow)$ por inducción. Para $k = 1$ tenemos nada que mostrar. Digamos general $k$, entonces por inducción en $k$, $$ p^{k-1} \, | \ n \quad \Longrightarrow \quad 2^{p^{k-1} O_p(2)} - 1 = (2^{p^{k-2}O_p(2)})^p-1^p = (2^{p^{k-2}O_p(2)} - 1)(1 + 2^{p^{k-2}O_p(2)} + \dots + (2^{p^{k-2}O_p(2)})^{p-1} ) \equiv (p^{k-1}m)(\underset{p \text{ momentos}}{\underbrace{1 + \dots + 1}})\equiv 0 \pmod {p^k}. $$ Lo he probado una sola dirección. (Tenga en cuenta que cuando se $2$ es una raíz primitiva $\pmod p$, esto es en realidad bastante trivial debido a mi estado de cuenta en la dirección que he probado, dice que " desde $\varphi(p^k) \, | \, n$,$2^n \equiv 1 \pmod {p^k}$'.)
En la otra dirección, la cuestión parece bastante duro, aunque. Por ejemplo, si sólo desea mostrar esto para $k = 2$, tengo que probar que si $p^2 \, | \, 2^n-1$$p \, | \, n$. Si trato de mostrar que, a continuación, trabajar modulo $p^2$ I get $$ 0 \equiv 2^n-1 = 2^{O_p(2) m} -1 = (2^{O_p(2)}-1)(1 + 2^{O_p(2)} + \dots + 2^{O_p(2)(m-1)}) \\\ \equiv (kp)(\underset{m \text{ momentos}}{\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}} ) \equiv kpm \pmod {p^2} \\\ $$ y lo que necesitaría es asumir $p \, || \, 2^{O_p(2)}-1$, por lo que el $p \, | \, m \, | \, n$... yo creo que si tengo la pretensión de la siguiente manera por inducción, pero no tengo absolutamente ninguna idea de cómo mostrar esto. Yo creo que es cierto, aunque (cálculos).
Alguna idea sobre este problema?
