Si usted baraja una $52$-baraja, ¿cuál es el número esperado de tarjetas que permanecerá en el mismo lugar?

Question

Una $52$-baraja, ¿cuál es el número esperado de tarjetas que permanecerá en el mismo lugar después de barajar?

Answer 1

Sugerencia: las cartas de $1$ $52$ el número y definir variables aleatorias $X_n$ $n=1,2,\dots,52$ $X_n=1$ si la tarjeta de th $n$ permanece en su lugar original y $X_n=0$ lo contrario.

¿Cómo se relaciona el número de cartas que quedan en sus lugares originales la $X_n$? ¿Puede usted calcular $\mathbb{E}[X_n]$ cada $n$?

Answer 2

Para $n=1,2,3,\ldots,52,$ vamos

$$ X_n = \begin{cases} 1 & \text{if the %#%#%th card is in the same place where it was before shuffling,} \\ 0 & \text{otherwise.} \end{casos} $$ A continuación, $n$ porque todos los $\Pr(X_n=1)=1/52$ lugares en los que una tarjeta puede ser son igualmente probables. Por lo tanto, $52$

El esperado número de cartas que quedan en el mismo lugar es $$ \operatorname{E}(X_1+\cdots+X_{52}) = \operatorname{E}(X_1)+\cdots+\operatorname{E}(X_{52}) = \frac 1 {52} + \cdots + \frac 1 {52} = 1. $$

Ejercicio para aquellos que no han tenido aún lo suficiente: Demostrar que la primera $\operatorname{E}(X_n) = 0\cdot\Pr(X_n=0)+1\cdot\Pr(X_n=1) = \Pr(X_n=1) = 1/52.$ momentos de la distribución de $52$ son los mismos que en la primera $X_1+\cdots+X_{52}$ momentos de la distribución de Poisson con valor esperado $52$. (Esto lo aprendí de un papel en el Mensual por Jim Pitman.)

Answer 3

(1) ${\sum\limits_{k=1}^n k {n \choose k}\ !(n-k) \over n!} = 1$ (independientemente de $n$).

Aquí $!q$ es leer "$q$ subfactorial" y cuenta el número de alteraciones (permutaciones de $q$ elementos en la que cada elemento cambia de lugar). Subfactorial se define por la relación de recursividad:

$!0=1$

$!1=0$

$!n = (n-1)(!(n-1) + !(n-2))$

Ecuación 1 puede ser entendido de la siguiente manera:

Para un número dado de elementos $n$ (por ejemplo, $n=52$), se forma el promedio ponderado del número de puntos fijos (impasible elementos) $k$ veces la probabilidad de obtener exactamente $k$ elementos fijos. El número de maneras en que usted puede seleccionar que $k$ elementos fijos es de curso ${n \choose k}$. El número de alteraciones de los elementos restantes se $!(n-k)$. Y, por supuesto, el número total de permutaciones es $n!$.

[Nota: por supuesto, el número total de las alteraciones de $q$ elementos es siempre menor que el número total de permutaciones de $q>1$.]

Usted puede aprender más acerca de este problema por la lectura en los Rencontres números.

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Para el "sencillo" enfoque en el que argumentan que $P[X_n = 1] = 1/52$ y luego simplemente se suman todos los valores esperados, creo que es necesario explicar por qué estas probabilidades puede ser considerado independiente. Por ejemplo, si el 51 tarjetas (por casualidad) a no cambiar de lugares, entonces la probabilidad de que la última carta que no cambia de lugar no es 1/52. El argumento general se puede hacer, pero usted debe explicar por qué la independencia es o no es válido o no tiene que ser considerado. El método anterior no necesita de una explicación.

Answer 4

Considerar cualquier tarjeta arbitraria; después de arrastrar totalmente la cubierta, tiene una probabilidad de $1/52$ de terminar para arriba en su lugar original. Por simetría, cualquier otra tarjeta tiene la misma probabilidad, por lo que el valor esperado total es $52*1/52 = 1$.