Tiene un analítico $F(z)$ $f(z)$ como derivado $\implies$ $\int_\gamma f(z)\ dz = 0$ $\gamma$ una curva cerrada

Question

Hipótesis: Supongamos que $F(z)$ $f(z)$ como un derivado. Supongamos, además, que $F(z)$ es analítica. Ahora, considere el complejo integral de línea

$$ \etiqueta{1} \int_\gamma f(z)\ dz $$

Pregunta: ¿esto implica que $(1)$ es igual a cero si $\gamma$ es una curva cerrada? Si es así, ¿por qué?

Intento:

1. Hay un teorema que dice que para $\gamma$ de una curva cerrada, tenemos que

   $$ \int_\gamma p\ dx + q\ dy = 0 \iff p\ dx + q\ dy \text{ es una diferencial exacta} $$

2. A continuación, $f(z)\ dz = f(z)\ dx + i f(z)\ dy$ implica que

   $$ f(z)\ dz = f(z)\ dx + i f(z)\ dy = \underbrace{{\partial F \over \partial x}\ dx + i \left(- i{\partial F \over \partial y}\right)\ dy}_{\text{aplicación de CR-ecuaciones para $F(z)$}} = {\parcial de F \over \partial x}\ dx + \left({\partial F \over \partial y}\right)\ dy $$

3. A continuación, $f(z)\ dz = dF = {\partial F \over \partial x}dx + {\partial F \over \partial y} dy$ de modo que $f(z)\ dz$ es una diferencial exacta como se desee.

4. A continuación, a través de $(1)$ tenemos que

   $$ \int_\gamma f(z)\ dz = 0 $$

   como se desee.

Es mi prueba correcta?

Answer 1

Es quizás más sencillo, suponiendo que es el dominio de $\gamma $ $[a,b]$,

$$\int _\gamma f=\int \limits _a^b f\left(\gamma (t)\right)\gamma '(t)\,\mathrm dt=\int \limits_a^b (F\circ \gamma)'(t)\,\mathrm dt=F\left(\gamma (b)\right)-F(\gamma(a))=0.$$

Answer 2

O puede escribir $\gamma=\gamma _1+\gamma_2$ y si $\gamma$ es una curva cerrada supongo que va en sentido contrario que $\gamma_1$ y $\gamma_2$ hacia la derecha. Ahora debemos utilizar la independencia de los caminos que establece que la integral de una función analítica en cualquier dos curvas de un $a$ a un $b$ es el mismo.

Así $\int_{\gamma_1}f=\int_{-\gamma_2} f$ y $\int_{\gamma} f=\int_{\gamma_1} f+\int_{\gamma_2} f=0$.