Un número natural $a$ tiene cuatro dígitos y $a^2$ termina con los mismos cuatro dígitos como la de $a$. ¿Encontrar el valor de $a$?

Question

Un número natural $a$ tiene cuatro dígitos y $a^2$ termina con las mismas cuatro dígitos como la de $a$. Encontrar el valor de $a$?

Esta pregunta apareció en un concurso de matemáticas. He intentado durante un tiempo y se acercó con esta condición: $10^4|(a-1)a$. Pero no soy capaz de ir más allá. Está claro que de los dos, ( $a-1$ $a$ ) la cual es extraño no contienen potencias de 2 y de ahí el otro contiene la $2^4$. Pero hay muchas posibilidades de que uno vea por ensayo y error.

Answer 1

La ecuación de $a^2 = a$ tiene exactamente dos soluciones de ( $0$ $1$ ) modulo de cualquier fuente primaria de energía, debido a que:

• Mod $p$, sólo tiene dos raíces $0$$1$, porque es cuadrática, y $\mathbb F_p$ es un campo;
• Por Hensel del lexema, ya que la derivada de $a^2-a$ $2a-1$ y es distinto de cero al $a=0$ o $a=1$ podemos levantar esas soluciones.

Así que debemos saber que:

• $a^2 \equiv a \pmod{2^4}$ si $a \equiv 0 \pmod{2^4}$ o $a \equiv 1 \pmod{2^4}$,
• $a^2 \equiv a \pmod{5^4}$ si $a \equiv 0 \pmod{5^4}$ o $a \equiv 1 \pmod{5^4}$.

Sin embargo, modulo $10^4$, tenemos más libertad, porque nos puede pegar estas soluciones de cualquier manera que nos gusta por el teorema del resto Chino. Nuestras opciones son \begin{align} a\equiv 0 \pmod{2^4}\text{ and }a\equiv 0 \pmod{5^4} &\implies a \equiv 0 \pmod{10^4} \\ a\equiv 0 \pmod{2^4}\text{ and }a\equiv 1 \pmod{5^4} &\implies a \equiv 9376 \pmod{10^4} \\ a\equiv 1 \pmod{2^4}\text{ and }a\equiv 0 \pmod{5^4} &\implies a \equiv 625 \pmod{10^4} \\ a\equiv 1 \pmod{2^4}\text{ and }a\equiv 1 \pmod{5^4} &\implies a \equiv 1 \pmod{10^4} \end{align}

(Para calcular los dos valores del medio, tome $2^4$ multiplicado por el inverso de a $2^4$ modulo $5^4$, e $5^4$ multiplicado por el inverso de a $5^4$ modulo $2^4$, respectivamente).

Así que en general (modulo $10^n$ otros $n$) hay dos soluciones distintas de $0$$1$, pero debido a $625$ no es en realidad un número de cuatro dígitos, el correcto aquí es $9376$.

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Supongo que de una manera más simple de obtener para el resto Chino paso es observar que si $10^4 \mid a(a-1)$, $a$ $a-1$ es impar, y uno de $a$ $a-1$ no es divisible por $5$, por lo que debemos tener $2^4 \mid a$ $5^4 \mid a-1$ o a la inversa para obtener una solución no trivial. Pero no veo una manera de evitar el teorema del resto Chino.

Answer 2

En adición a sólo uno de los $a$ $a-1$ siendo incluso, también se puede decir que sólo uno de ellos es divisible por $5$. De ello se desprende que uno de ellos debe ser divisible por $5^4$, y el otro debe ser divisible por $2^4$ (usted no puede tener uno de ellos divisible por tanto $2^4$ $5^4$ porque $a$ no podía tener cuatro dígitos). No es demasiado malo para comprobar todos los posibles de 4 dígitos múltiplos de $5^4=625$ (y, de hecho, sólo se necesita comprobar dichos múltiplos que son impares). Para cada una de las múltiples $n$, desea comprobar si $n\pm 1$ es divisible por $2^4$ (si $n+1$ es,$n+1$$a$, y si $n-1$ es,$n$$a$).

Además, usted puede reducir enormemente la cantidad de trabajo que usted necesita para hacer con un poco de aritmética modular. Tenga en cuenta que $625\equiv 1\pmod{16}$, lo $625k\equiv k\pmod{16}$ para cualquier entero $k$. Así que si usted desea $n=625k$ ser $1$ $1$ menos que un múltiplo de $16$, $k$ tiene que ser $\pm 1$ mod $16$. Los valores de $k$ que dar 4 dígitos $2\leq k\leq 15$, y por lo tanto la única que funciona es $k=15$. Esto le da a $n=625\cdot 15=9375$, $1$ menos que un múltiplo de $16$, por lo que el valor de $a$ desea es $n+1=9376$.