Explicación del ejemplo de 3F.7 en Hatcher

Question

La sección a la que me estoy refiriendo es el siguiente ejemplo en la página 314 de Hatcher Topología Algebraica:

Estoy un poco confundido por su declaración sobre las relaciones y no puede ver lo que él está tratando de decir. Podría alguien ayudarme a interpretar este ejemplo? Entiendo su planteamiento, es sólo un poco lacónico cuando dice: "los términos después de $y_1(1,0,...)$ ... y, en particular, permiten reducir una secuencia arbitraria $(b_0,b_1,\cdots )$ a una secuencia única"

Answer 1

Aquí está una manera diferente de obtener el mismo resultado, por si ayuda...

Los mapas de $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/p^j$ dar un mapa de diagramas de entre $\cdots \rightarrow \mathbb{Z} \stackrel{1}{\rightarrow} \mathbb{Z}\stackrel{1}{\rightarrow} \mathbb{Z}$ $\cdots \rightarrow \mathbb{Z}/p^3 \rightarrow \mathbb{Z}/p^2 \rightarrow \mathbb{Z}/p$ con kernel dada por el diagrama de $\cdots \rightarrow p^3\mathbb{Z} \rightarrow p^2 \mathbb{Z} \rightarrow p\mathbb{Z}$. La identificación de cada uno de estos con $\mathbb{Z}$ a través de la multiplicación por $p^n$ obtenemos la inversa del sistema en el ejemplo. Así que tenemos una secuencia exacta de los inversos de los sistemas que vamos a denotar por $0 \rightarrow K \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0$, lo que da lugar a una secuencia exacta (fundamentalmente por la definición de derivada functor...)

$$ 0 \rightarrow \text{lim }K \rightarrow \text{lim } \rightarrow \text{lim }B \rightarrow \text{lim}^1 K \rightarrow \text{lim}^1 Un $$

Ahora, $\text{lim }B = \mathbb{Z}_p$, por definición, $\text{lim}^1A = 0$ ya que todos los mapas son la identidad, $\text{lim }K = 0$ Hatcher dice (nada es infinitamente divisible por $p$), y $\text{lim }A = \mathbb{Z}$ a través de la observación, por lo que tenemos

$$ 0 \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_p \rightarrow \text{lim}^1K \rightarrow 0 $$

que es lo que queríamos demostrar.