$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} + \frac{1}{x-c} = 0 $ tiene exactamente dos raíces reales

Question

Demostrar que determinado $ a < b < c $ esta ecuación: $$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} + \frac{1}{x-c} = 0 $ $

tiene precisamente 2 raíces reales.

Entiendo que hay 3 puntos de discontinuidades, pero no tengo ni idea de cómo comprobarlo. ¿Me puede dar una pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

Reordenar la ecuación para obtener $3x^2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca=0$

$$\text{The discriminant }\{2(a+b+c)\}^2-4\cdot3\cdot(ab+bc+ca)$$

$$=4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

$$=4\cdot\frac{\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}}2>0 \text{ for distinct real }a,b,c$$

¿Qué podemos concluir de esto?

Answer 2

Aquí está lo que algunos de la mirada de gráficos como. No se trata de una prueba, pero, tal vez, le dará alguna pista sobre lo que está sucediendo, especialmente si puede demostrar que el gráfico genérico se ve como esta. Así, se podría pensar de esto como motivación geométrica detrás de algunas de las otras respuestas que te animamos a pensar en donde la función se comporta de alguna manera.

Answer 3

Sugerencia: Hacer un denominador común para los tres factores. Entonces resolver la ecuación resultante (o comprobar el valor de su discriminante).

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Para ser un poco más explícito, ponerla en la forma siguiente: $\frac{(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)}{(x-a)(x-b)(x-c)}=0$. Ahora simplificar y encontrar el discriminante (o resolver explícitamente).

Answer 4

Sugerencias:

Mira el derivado de la función para determinar dónde es creciente/decreciente.

Considerar el comportamiento cerca de los polos.

Esto debería ser suficiente para resolver el problema.

Answer 5

Tener en cuenta 4 regiones: $x>c$ todos los términos son positivos, por lo tanto no hay ninguna raíz real allí. $x \to c^{-}$, Tiende a $-\infty$, $x\to b^{+}$ tiende a $+\infty$, por lo que debe haber una raíz real en $(b,c)$. Hacer este argumento riguroso.