Cálculo de los momentos utilizando la distribución hipergeométrica

Question

% Vector que $a\in 2n $es tal que primer $l$ de sus coordenadas son $1$ y el resto son $0$ ($a=(1,\ldots, 1,0, \ldots, 0)$). Sea $\pi$ %#% permutación de #%-th del conjunto $k$. Definir %#% $ #%

Utilizando hipergeométrica distribución calcular / aproximado del $\{1, \ldots, 2n\}$-th momento $$g=\left|\sum_{i=1}^n a_{\pi(i)}-\sum_{i=n+1}^{2n}a_{\pi(i)}\right|.$ para cualquier $q$.

He conseguido que el momento de $E|g|^q,$-th es $$ E | g | ^ q = \sum_ {k = 0} ^ l\frac {{l \choose k} {2n l \choose n-k} (2 k-l) ^ q} {{2n\choose n}}. $$ Pero ahora estoy atrapado...

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Mediante la comparación de la última expresión para la función de probabilidad de la distribución hipergeométrica, se puede ver que $E|g|^q=E(2X−l)^q$ donde $X$ $\rm{Hypergeometric}(2n,l,n).$

Por lo tanto,$E(X)=\frac{nl}{2n}=l/2=:\mu$. Así $$E|g|^q=E(2X−l)^q={2}^qE(X-l/2)^q=2^qE(X-\mu)^q.$$

Expresado en palabras, $E|g|^q$ $2^q$ veces $q$:ésimo momento central de $X$.

Los momentos principales de la distribución hipergeométrica son conocidas y pueden ser calculadas (preferiblemente que no sea a mano...).