¿Cuáles son los requisitos previos para el cálculo estocástico?

Question

No soy estudiante de matemáticas, y sólo cojo algo cuando lo necesito. Después de surgir en el campo del aprendizaje automático, la probabilidad, la teoría de medidas y el análisis funcional parecen ser bastante intrigantes. Estoy considerando la posibilidad de aprender cálculo estocástico mí mismo, pero no sé muy bien qué tipo de requisitos previos debo tener. ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre las cosas que tengo que comprobar antes de desafiarme a mí mismo en el cálculo estocástico?

Answer 1

El cálculo estocástico se basa en gran medida en martingalas y en la teoría de medidas, por lo que es necesario tener un conocimiento básico de todo ello antes de aprender cálculo estocástico. El análisis básico también ocupa un lugar destacado, tanto en el cálculo estocástico propiamente dicho (donde aparecen procedimientos de límites de varios tipos, así como los ocasionales análisis de Hilbert o de $L^p$ argumento del espacio) y en la propia teoría martingala.

En resumen, sería beneficioso que primero te familiarizaras con herramientas matemáticas elementales como:

-Análisis real (por ejemplo, Carothers "Real analysis" o Rudin's "Real and complex analysis")

-Teoría de la medida (por ejemplo, "Real analysis and probability" de Dudley, o "Probability and measure theroy" de Ash y Doleans-Dade).

y además aprender teoría básica de la probabilidad como

-Teoría martingala en tiempo discreto

-Teorías de convergencia de procesos estocásticos

-Teoría de los procesos estocásticos en tiempo continuo, en particular el movimiento browniano

Todo esto se trata en el volumen uno de "Diffusions, Markov processes and martingales", de Rogers y Williams, y también esporádicamente en los dos libros relacionados con la probabilidad citados anteriormente, de Dudley y Ash y Doleans-Dade.

Con una formación así, deberías estar bien preparado para aprender cálculo estocástico, lo que puedes hacer a partir del volumen dos de "Diffusions, Markov processes and martingales", de Rogers y Williams, o de "Brownian motion and stochastic calculus", de Karatzas y Shreve.

Answer 2

Para adquirir un conocimiento práctico del cálculo estocástico, no es necesario todo ese análisis funcional/teoría de medidas. Lo que se necesita es una buena base de probabilidad, comprensión de los procesos estocásticos (los básicos [cadenas de Markov, colas, renovaciones], qué son, qué aspecto tienen, aplicaciones, propiedades de Markov), cálculo 2-3 (las expansiones de Taylor son la clave) y ecuaciones diferenciales básicas.

Aquí hay gente que intenta asustarte. Sin duda es posible aplicar el cálculo estocástico y obtener una comprensión intuitiva de lo que está pasando sin conocer los detalles de un límite cuadrático medio o cómo demostrar que una función es integrable al cuadrado en el espacio Lp.

Al fin y al cabo, es una herramienta que nació para los procesos termodinámicos. Muchos de los físicos que la utilizan no se preocupan por las martingalas, la teoría de la medida y todo eso en sus aplicaciones.

No me malinterprete, el análisis funcional, los pdes y la teoría de medidas son temas interesantes, pero no necesarios.

Recomendaría el libro: "Paul Wilmott Introduce Finanzas Cuantitativas"