Una característica de los subgrupos es un subgrupo normal

Question

$\phi(H) = H$ $\phi$ cualquier automorphism en $G$.

Traté de encontrar un homomorphism para que $H$ es el núcleo, lo que muestra que $H$ es normal. Sin embargo, traté de tener los mapas de $g$$\phi(gH) = \phi(g)H$, pero no puede demostrarlo, se conserva la operación porque no sabemos que $\phi(a)\phi(b) = \phi(a)H\phi(b)H = \phi(a)\phi(b)H$ como no tenemos $H$ es normal.

Es este el camino correcto a seguir? O debo intentar algo más?

Answer 1

deje $\phi$ ser interior automorphism por ejemplo, $\phi_g(x)=g^{-1}xg$ cualquier $g\in G$. Ahora usted puede aplicar este automorphism.

$\phi_g(H)=H$ $\Longrightarrow$ para cualquier $h\in H$, luego tenemos a $\phi_g(h)\in H$. Por lo tanto $H^g=H$ cualquier $g\in G$. Por lo $H\trianglelefteq G$.