Cómo definir $f(0)$ al $f$ es una función en $L^2$?

Question

Cualquier función de $f$ $L^2$ es una realidad, una clase de equivalencia y tiene propiedades que sólo espera "casi en todas partes." Pero sería conveniente hablar de el valor de $f$ en ciertos puntos como $f(0)$.

Es allí una manera significativa de la definición de este?

Answer 1

La manera más natural sería definir $f(0)$ como promedio de $f$ cerca de 0:

(Re)definir $f(0)$ a ser el límite de $\varepsilon$ tiende a 0 de $$\frac{1}{\mu(B(0,\varepsilon))}\int\chi_{B(0,\varepsilon)}(x)f(x)d\mu(x).$$ siempre que este límite existe (y lo hace de una.e. (al menos) por la Diferenciación de Lebesgue Teorema. En este contexto, cuando este límite existe se dice que 0 es un punto de Lebesgue, y lo que la Diferenciación de Lebesgue teorema que dice es que casi cada punto es un punto de Lebesgue). De esta manera le estás dando a $f$ el valor que le daría si pudiera pintar su trama. Piense por ejemplo en la función de $\chi_{\mathbb{Q}\cap[-1,1]}$. Sin embargo, esto no funciona si 0 no es un punto de Lebesgue (por ejemplo, al tomar Los de la función en $[-1,1]$, $\chi_{[0,1]}$)

Así que este enfoque no funcionará en general. Sin embargo, esto no sería útil en la teoría de la $L^p$ funciones de la causa, incluso si usted puede hacer esto con cada punto que terminaría con una función que difiera de la original en un conjunto de medida de 0, así como un $L^p$ función sería exactamente el mismo.

Answer 2

El problema aquí es que el $\{0\}$ es un conjunto de medida de 0 en $\mathbb{R}$, y, en general, las restricciones a los conjuntos de medida 0 no están bien definidos. Pero uno puede decir lo siguiente. Si $M^{1/2}$ un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ con soporte exponente 1/2 límite, entonces la 'restricción' operador, definido a priori para las funciones en $C^\infty(M^{1/2})$, es un mapa continuo desde el espacio de sobolev $H^{1/2}(M^{1/2}) \to L^2(\partial M^{1/2})$ y por lo tanto puede ser extendida a todos los de $H^{1/2}(M^{1/2})$. Así, cuando asumimos que las funciones que tiene la mitad de un derivado de la regularidad, se puede definir la restricción de una función de a $\partial M^{1/2}$ - un conjunto de medida de 0 en $M^{1/2}$. La palabra clave aquí es la traza teorema si deseas leer más. Recomiendo Prof. Pierre Germán notas, o los Leones y Magness.