Cómo expresar $$1+3+6+10+15+21+28+...$$ como una sumatoria? He intentado varias formas pero estaban equivocados y siempre me trajo de nuevo al cuadrado uno. Gracias!
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vadim123
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Para el $nth$ plazo $S(n)$ de su suma,$\displaystyle S(n) = \sum_{k = 1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
Si desea que la suma de los primeros a $n$ tales términos, $S(1) + S(2) + ... + S(n)$ el uso de:
$$\sum_{k = 1}^n \dfrac{k(k+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$$
Vea el enlace para triangular los números para aprender más!
Starlight
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Usted puede escribir la secuencia de concretarse como una relación de recurrencia para $n \geq 2$, asumiendo que el índice de la secuencia como $(a_1,a_2,a_3,\cdots)$, como: $$a_n=a_{n-1}+n.$$ Relaciones de recurrencia de esta forma con $a_n=a_{n-1}+p(n)$ $p(n)$ un polinomio, donde el grado del polinomio es decir $m \geq 0$, $a_n$ de la forma: $$a_n=c_0+c_1n+\cdots +c_mn^m+c_{m+1}n^{m+1}.$$ Por lo tanto, nuestro término general $a_n$ le parezca $$a_n=c_0+c_1n+c_2n^2$$ y podemos utilizar la información que $a_1=1,a_2=3$ $a_3=6$ para obtener $$a_1=c_0+c_1+c_2=1$$ $$a_2=c_0+2c_1+4c_2=3$$ $$a_3=c_0+3c_2+9c_2=6.$$ Podemos entonces resolver el sistema de ecuaciones lineales para obtener ese $c_0=0,c_1=\frac{1}{2},$$c_2=\frac{1}{2}$, lo que da a la simplificación que $$a_n=\frac{n(n+1)}{2}=T_n$$ el $n^{th}$ número triangular. Así, finalmente, $$1+3+6+10+15+\cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2}.$$
Farkhod Gaziev
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6
$$S_n=1+3+6+10+15+\cdots+T_n$$
$$S_n=1+3+6+10+15+\cdots+T_{n-1}+T_n$$
En la resta, $$0=1+(3-1)+(6-3)+(10-6)+(15-10)+\cdots+(T_n-T_{n-1})-T_n$$
$$\implies T_n=1+2+3+\cdots\text{up to }n\text{ terms}=\frac{n(n+1)}2$$
$$\text{Now, }(r+1)^3-r^3= 6\frac{r(r+1)}2+1$$ (Observar la Telescópico Suma en el Lado Izquierdo)
Poner a $r=1,2,\cdots,n-1,n$ y la adición de ellos se obtiene, $$(n+1)^3-1=6S_n+n$$ $$\implies 6S_n=n^3+3n^2+3n+1-1-n=n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2)$$
