Los superfluidos son invariantes galileanos, por lo que es conveniente partir de un modelo invariante galileano cuando se trata de entender su dinámica. Por ejemplo, el modelo de Gross-Pitaevski (GP) que proviene de la integral de acción $$ S[\phi, \phi^\dagger]= \int d^3x dt\left\{ \phi^\dagger (i \partial_t + \frac 1{2m} \nabla^2) \phi + \mu\phi^\dagger \phi -\frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2\right\}. $$ es invariante galileano.
Esta acción contiene un potencial sombrero mexicano $$ V(\phi)= \frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2-\mu \phi^\dagger\phi $$ que se minimiza en $\phi^\dagger\phi = \mu/\lambda$ . Por lo tanto, las posibles soluciones estacionarias son $$ \langle\phi \rangle= \phi_c= e^{i\theta} \sqrt{\frac \mu \lambda} $$ En el modelo GP el $\rho$ en $\phi= \sqrt{\rho} e^{i\theta}$ realmente es la densidad de las partículas porque este modelo se aplica a muy baja temperatura cuando esencialmente todas las partículas están en el condensado. Por tanto, la densidad de partículas en equilibrio es $\rho= \mu/\lambda$ .
Si buscamos pequeñas oscilaciones $\phi=\phi_c+\eta$ entonces $$ V(\phi+\eta) \sim const+ \mu \eta^\dagger \eta +\frac 12\mu (\eta^2+(\eta^\dagger)^2)+O(\eta^3) $$ y las ecuaciones de movimiento linealizadas se convierten en $$ i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta +\mu\eta +\mu \eta^\dagger,\\ -i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta^\dagger +\mu\eta +\mu \eta^\dagger. $$ Si buscamos una solución $$ \eta= a e^{ikx-i\omega t} +b^\dagger e^{-ikx+i\omega t} $$ encontramos que $(a,b)^T$ debe obedecer $$ \left[\begin{matrix} k^2/2m =\omega +\mu & \mu\cr \mu & k^2/2m +\omega+\mu\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a \cr b\end{matrix}\right]=0, $$
por lo que las frecuencias permitidas vienen dadas por $$ \omega^2 =(k^2/2m +\mu)^2 -\mu^2. $$ En las pequeñas $k$ esto se convierte en $\omega^2=c^2k^2$ con $ c^2 =\lambda \rho_0 /m$ . Estos modos son las ondas sonoras sin ranura. Durante el movimiento la punta del $\phi$ El vector describe una elipse alrededor del equilibrio $\phi_c$ . Estos modos de sonido son, por lo tanto, una combinación de movimiento similar al de Goldstone a lo largo del fondo del pozo de potencial del sombrero mexicano y una oscilación radial desfasada ``como la de Higgs''. Hay no separan los modos circunferenciales de "Goldstone" y radiales de "Higgs" en el superfluido condensado en bose no relativista. Los modos acoplados son ondas sonoras con una fluctuación de densidad $\rho_0\to \rho_0+\delta \rho$ y una velocidad simultánea (en fase) de ida y vuelta dada por $v=\nabla\theta$ .
Teníamos dos ecuaciones para $\eta$ que eran de primer orden en el tiempo. Podemos, si queremos, eliminar $\rho$ para obtener una ecuación de onda de segundo orden que implica sólo $\theta$ o eliminar $\theta$ para obtener una ecuación de onda que involucre sólo $\rho$ --- pero no obtendremos una ecuación de segundo orden en el tiempo que involucre ambas variables. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las ecuaciones de onda linealizadas son no invariante galileano. Además, si nos centramos sólo en las ecuaciones de movimiento, corremos el riesgo de descartar la $i\rho_0 \partial_t\theta$ en la integral de la acción con el argumento de que es una derivada total. Este término topológico del número de devanado es esencial para la dinámica de los vórtices, donde es responsable del efecto Magnus. En su ausencia (como se preguntó recientemente en este sitio) una hélice no funcionaría en un superfluido.
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Si partimos de la acción del modo de amplitud y del modo de fase del parámetro de orden, es decir $S[\rho,\phi]$ y luego calcular la función de correlación de amplitud, ¿no deberíamos obtener un resultado diferente? En otras palabras, creo que el operador de densidad emergente que has definido aquí debería ser diferente del modo de amplitud del parámetro de orden.
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@ChuanChen Sí, creo que si trabajamos con $S[\rho,\theta]$ podríamos obtener una función de correlación de brecha para el modo de amplitud. Si el operador de densidad emergente es realmente diferente del modo de amplitud, ¿cómo deberíamos entender que hay realmente dos tipos diferentes de fluctuaciones de densidad en el superfluido?