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¿La fluctuación de la densidad no tiene hueco en el superfluido?

En las profundidades de la fase superfluida, el parámetro de orden superfluido $\phi$ puede descomponerse en el modo de amplitud (densidad) $\rho$ y el modo de fase $\theta$ como $$\phi=\sqrt{\rho} e^{\mathrm{i}\theta}.$$ Se cree que las fluctuaciones de la densidad están separadas, ya que corresponden a la "escalada" del potencial $V(\phi)$ . Lo que queda sin hueco a baja energía son las fluctuaciones de fase, o los modos de Goldstone, descritos por $$\mathcal{L}[\theta]=\frac{1}{2g}\big((\partial_{t}\theta)^2-(\partial_{\boldsymbol{x}}\theta)^2\big).$$ Sin embargo, existe un operador de densidad emergente $\rho=-\partial_t\theta$ y el operador actual $\boldsymbol{j}=\partial_{\boldsymbol{x}}\theta$ en términos del campo de fase $\theta$ , tal que la ecuación de continuidad $\partial_{t}\rho+\partial_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{j}=0$ se satisface en la cáscara. Esto significa que la fluctuación de la densidad es en realidad sin ranura, como se ve en la función de correlación densidad-densidad en el espacio de momento-frecuencia: $$\langle\rho_{k}\rho_{-k}\rangle=-\omega^2\langle\theta_{k}\theta_{-k}\rangle=\frac{\omega^2}{\omega^2-\boldsymbol{k}^2}.$$ Si la fluctuación de la densidad en el superfluido es, en efecto, sin huecos, ¿cómo podemos ignorarlos y afirmar $\mathcal{L}[\theta]$ como la descripción efectiva de la dinámica del superfluido a baja energía? Pero, por otro lado, la imagen clásica de "reclamar" el potencial de Maxican-hat $V(\phi)$ implica que la fluctuación de la densidad debe estar separada. ¿Cómo conciliar esta contradicción?

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Si partimos de la acción del modo de amplitud y del modo de fase del parámetro de orden, es decir $S[\rho,\phi]$ y luego calcular la función de correlación de amplitud, ¿no deberíamos obtener un resultado diferente? En otras palabras, creo que el operador de densidad emergente que has definido aquí debería ser diferente del modo de amplitud del parámetro de orden.

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@ChuanChen Sí, creo que si trabajamos con $S[\rho,\theta]$ podríamos obtener una función de correlación de brecha para el modo de amplitud. Si el operador de densidad emergente es realmente diferente del modo de amplitud, ¿cómo deberíamos entender que hay realmente dos tipos diferentes de fluctuaciones de densidad en el superfluido?

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Liza Puntos 11

El modo de densidad en un superfluido no tiene huecos (de hecho, el modo de densidad en una fase normal tampoco tiene huecos. Este modo se llama sonido).

La confusión surge porque para llegar a la lagrangiana efectiva para $\theta$ hay que integrar el modo de amplitud. Como resultado, el $\theta$ en el lagrangiano efectivo se acopla a la densidad.

Posdata: La amplitud no está directamente relacionada con la densidad del superfluido $\rho_s$ . La densidad del superfluido se define por $$ \vec\pi = \rho_s v_s + \rho_n v_n $$ donde $\vec\pi$ es la densidad de momento y $v_s= i\hbar\nabla\theta/m$ es la velocidad del superfluido. Esto significa que $\rho_s$ gobierna la respuesta del momento a los gradientes de la fase. Experimentalmente, $\rho_s$ se extrae midiendo las velocidades del primer y segundo sonido.

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La densidad del superfluido = (la amplitud de la función de onda del condensado) $^2$ . ¿Es eso cierto?

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La densidad del superfluido es una cantidad hidrodinámica, que no puede extraerse directamente del parámetro de orden. La amplitud del parámetro de orden está más directamente relacionada con la fracción de condensado.

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@Thomas ¿Puedes dar más detalles sobre cómo obtener la densidad del superfluido?

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mike stone Puntos 184

Los superfluidos son invariantes galileanos, por lo que es conveniente partir de un modelo invariante galileano cuando se trata de entender su dinámica. Por ejemplo, el modelo de Gross-Pitaevski (GP) que proviene de la integral de acción $$ S[\phi, \phi^\dagger]= \int d^3x dt\left\{ \phi^\dagger (i \partial_t + \frac 1{2m} \nabla^2) \phi + \mu\phi^\dagger \phi -\frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2\right\}. $$ es invariante galileano.

Esta acción contiene un potencial sombrero mexicano $$ V(\phi)= \frac 12 \lambda (\phi^\dagger\phi)^2-\mu \phi^\dagger\phi $$ que se minimiza en $\phi^\dagger\phi = \mu/\lambda$ . Por lo tanto, las posibles soluciones estacionarias son $$ \langle\phi \rangle= \phi_c= e^{i\theta} \sqrt{\frac \mu \lambda} $$ En el modelo GP el $\rho$ en $\phi= \sqrt{\rho} e^{i\theta}$ realmente es la densidad de las partículas porque este modelo se aplica a muy baja temperatura cuando esencialmente todas las partículas están en el condensado. Por tanto, la densidad de partículas en equilibrio es $\rho= \mu/\lambda$ .

Si buscamos pequeñas oscilaciones $\phi=\phi_c+\eta$ entonces $$ V(\phi+\eta) \sim const+ \mu \eta^\dagger \eta +\frac 12\mu (\eta^2+(\eta^\dagger)^2)+O(\eta^3) $$ y las ecuaciones de movimiento linealizadas se convierten en $$ i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta +\mu\eta +\mu \eta^\dagger,\\ -i\partial_t \eta = -\frac1{2m} \nabla^2 \eta^\dagger +\mu\eta +\mu \eta^\dagger. $$ Si buscamos una solución $$ \eta= a e^{ikx-i\omega t} +b^\dagger e^{-ikx+i\omega t} $$ encontramos que $(a,b)^T$ debe obedecer $$ \left[\begin{matrix} k^2/2m =\omega +\mu & \mu\cr \mu & k^2/2m +\omega+\mu\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} a \cr b\end{matrix}\right]=0, $$
por lo que las frecuencias permitidas vienen dadas por $$ \omega^2 =(k^2/2m +\mu)^2 -\mu^2. $$ En las pequeñas $k$ esto se convierte en $\omega^2=c^2k^2$ con $ c^2 =\lambda \rho_0 /m$ . Estos modos son las ondas sonoras sin ranura. Durante el movimiento la punta del $\phi$ El vector describe una elipse alrededor del equilibrio $\phi_c$ . Estos modos de sonido son, por lo tanto, una combinación de movimiento similar al de Goldstone a lo largo del fondo del pozo de potencial del sombrero mexicano y una oscilación radial desfasada ``como la de Higgs''. Hay no separan los modos circunferenciales de "Goldstone" y radiales de "Higgs" en el superfluido condensado en bose no relativista. Los modos acoplados son ondas sonoras con una fluctuación de densidad $\rho_0\to \rho_0+\delta \rho$ y una velocidad simultánea (en fase) de ida y vuelta dada por $v=\nabla\theta$ .

Teníamos dos ecuaciones para $\eta$ que eran de primer orden en el tiempo. Podemos, si queremos, eliminar $\rho$ para obtener una ecuación de onda de segundo orden que implica sólo $\theta$ o eliminar $\theta$ para obtener una ecuación de onda que involucre sólo $\rho$ --- pero no obtendremos una ecuación de segundo orden en el tiempo que involucre ambas variables. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las ecuaciones de onda linealizadas son no invariante galileano. Además, si nos centramos sólo en las ecuaciones de movimiento, corremos el riesgo de descartar la $i\rho_0 \partial_t\theta$ en la integral de la acción con el argumento de que es una derivada total. Este término topológico del número de devanado es esencial para la dinámica de los vórtices, donde es responsable del efecto Magnus. En su ausencia (como se preguntó recientemente en este sitio) una hélice no funcionaría en un superfluido.

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Gracias por la respuesta detallada. Efectivamente, hay una cuestión que debería aclarar sobre mi respuesta. Sin embargo, me gustaría señalar que la GP es un modelo muy específico. Supone que la densidad del superfluido es igual a la densidad y que la fracción de condensado es uno. El lagrangiano efectivo $L[\theta]$ por otro lado, es bastante general.

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@Thomas De acuerdo, en general pero Everett You's $L(\theta)$ no es invariante galileano. Hay una buena discusión general sobre las consecuencias de la invariancia galileana y las acciones efectivas de los fluidos en: M. Greiter, F. Wilczek y E. Witten, Hydrodynamic Relations in Superconductivity, Mod.Phys.Lett. B3 (1989) 903.

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