Inverso del Teorema de Galois.

Question

Si $F\subset K\subset E$ extensión de campo tal que $K\subset E$ y $F\subset K$ es a la vez finito y extensiones de Galois, entonces $F\subset E$ es la extensión de Galois.

Mi intuición me dice que esto es falso pero no encuentro un contraejemplo para ello.

Answer 1

De hecho, es falso. La intuición general de esto proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois. Por la correspondencia entre las extensiones de Galois y los subgrupos normales, esto sugeriría que la normalidad es también transitiva, lo cual no es así.

Aquí hay una construcción explícita utilizando extensiones cuadráticas. Dejando que $F = \mathbb{Q}$ observamos que $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es una extensión cuadrática de $F$ como el polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ para $\sqrt{2}$ es $x^{2}-2$ . Por lo tanto, como todas las extensiones cuadráticas son de Galois, observamos que $K$ es Galois sobre $F$ . Además, dejemos que $E = K(\sqrt[4]{2})$ . Entonces $E$ es un grado $2$ extensión de $K$ ya que el polinomio mínimo para $\sqrt[4]{2}$ en $K$ es $x^{2}-\sqrt{2}$ por lo que esta extensión es de nuevo cuadrática y por lo tanto Galois sobre $K$ .

Sin embargo, $E = F(\sqrt{2}, \sqrt[4]{2}) = F(\sqrt[4]{2})$ NO es Galois sobre $F$ . El polinomio mínimo para $\sqrt[4]{2}$ en $\mathbb{Q}$ es $x^{4}-2$ que tiene dos raíces imaginarias.