¿Una prueba algebraica de Mumford ' criterio de suavidad de s para las superficies?

Question

(Descargo de responsabilidad: yo soy un principiante en esta área, así que la recepción de correcciones.)

Deje $(X,x)$ ser un germen de una superficie compleja (es decir, localmente, el ajuste a cero de algunos holomorphic funciones) y asumir que $x$, un punto singular aislado. Mumford demostrado que si el local grupo fundamental de la $X$ $x$ es trivial, entonces, en el hecho de $x$ es suave.

Todas las criaturas en el párrafo anterior han algebraicas análogos, y la conversión se lleva a cabo (creo) por Flenner: Vamos a $A$ ser una de dos dimensiones local completo normal de dominio que contiene un algebraicamente cerrado campo de característica cero; si el \'etale grupo fundamental de la [EDITAR: el perforado espectro de] $A$ es trivial y, a continuación, $A$ es regular.

Sin embargo, Flenner la prueba es esencialmente por la reducción a Mumford del teorema [como yo, que no es de habla alemana, se puede decir], en lugar de un nuevo algebraicas (o algebro-geométrica) de la prueba. Así:

¿Existe una puramente algebraica o algebro-prueba geométrica de Mumford del teorema?

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Motivaciones incluyen: (1) Mumford prueba es completamente opaco para mí; (2) No, me refiero a realmente opaco; (3) tengo curiosidad acerca de las extensiones del teorema de no-aislado singularidades [que probablemente debería ser otra pregunta].

Answer 1

He encontrado lo que creo que es la respuesta, en un papel por Cutkosky y Srinivasan llamado "Local fundamentales de los grupos de la superficie de las singularidades en el carácter $p$". Que demuestren, como Corolario 5: Supongamos que $(A, m)$ es un completo normal de dominio local de dimensión dos, con algebraicamente cerrado resicue campo $k$ de característica cero. (Un poco sorprendente, dado el título de " el papel). A continuación, $\pi_1(\operatorname{Spec} A -m)=0$ si y sólo si $A$ es suave sobre la $k$. Dicen que esto le da "una media aritmética de la prueba del teorema de Mumford y Flenner."

La prueba que al parecer utiliza Flenner del papel, pero no creo que se utiliza Mumford es el resultado. Se obtiene una expresión para el local de grupo fundamental en términos de un árbol, y la apelación a Flenner del Teorema 2.7 saber que el grupo es trivial iff $A$ es suave. No he probado a leer la sección de Flenner del papel, pero parece ser independiente de Mumford.

Answer 2

Hélène Esnault (y Eckart Viehweg) tienen un reciente preprint en arxiv: http://arxiv.org/abs/1002.0024 para una característica $p$ versión del teorema de Mumford. Tal vez tu pregunta se contesta en la referencia de Flenner citada allí.