¿Clasificación de álgebra extensiones sobre una extensión fija?

Question

Hay un montón de "Ext grupos" en álgebra homológica que medir extensiones de varias cosas. Estoy seguro de que debe haber un álgebra homológica de la máquina para el cómputo de la siguiente, y tengo la esperanza de que hay alguien que sabe acerca de ella.

Estoy interesado en la siguiente situación. Deje que R y S se conmutativa anillos y fijar un anillo homomorphism $f:R \to S$. También arreglar conmutativa S-álgebra A. estoy interesado en la comprensión y clasificación de los R-álgebras B, junto con una (surjective?) anillo homomorphism $g: B \to A$ que entrelaza el álgebra de las estructuras en el siguiente sentido:

$ g(rb) = f(r) g(b)$

para todos los $r \in R$, e $ b \in B$. Hay un álgebra homológica manera de hacer esto?

Un ejemplo particular que me interesa es que cuando tenemos la igualdad de $B \otimes_R S = A$, pero también estoy interesado en otros casos.

Answer 1

Yo creo que tu problema no está limitado suficiente para tener una interesante respuesta. Aviso de que su entrelazamiento condición puede reformularse diciendo que $g: B \to A$ es un homomorphism de $R$-álgebras, donde $A$ es dada la estructura de la $R$-álgebra dado por $f$. En estos términos, lo que se busca es la coma categoría $\mathcal{C} = (\mathbf{Alg}_R \downarrow A)$, cuyos objetos son precisamente los pares de $(B, g)$ como en el anterior, y cuyos morfismos $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}((B, g), (B', g'))$ $R$- álgebra homomorphisms $h: B \to B'$ tal que $g = g' \circ h$. No estoy seguro de que es posible la captura de esta bestia con un cohomology grupo de cualquier tipo.

Lo que puedes hacer es restringir la clase de objetos que usted está buscando. Por ejemplo, puede clasificar de la plaza de cero extensiones: la fijación de un $A$-módulo de $I$, usted puede buscar a $R$-álgebras $B$ tal de que usted tiene una corta secuencia exacta $0 \to I \to B \to A \to 0$; el nombre de la plaza de cero viene del hecho de que $I$ es un ideal de a$B$$I^2 = 0$. Usted puede leer acerca de ellos en el primer capítulo de Sernesi del Deformaciones Algebraico de los Esquemas.