Buscar en Delzant Polytope

Question

Un polytope Delzant en R ^ n por definición es un simple, racional y suave polytope convexo en R ^ n (libro de Ana Cannas da Silva para nociones.) ¿Ustedes tienen alguna comprensión de la definición, por ejemplo, nada podemos decir acerca de la forma? ¿Satisfacen algunas condiciones de rigidez? Todos relacionados con los comentarios son bienvenidos!

Answer 1

El modelo estándar de un vértice que satisface la Delzant condición es la positiva "cuadrante" $x_i \geq 0$ $\mathbb{R}^n$ cerca del origen. En general, un polytope es Delzant si y sólo si cada vértice puede ser tomado a este modelo estándar por algún elemento de $\mathrm{GL}(n, \mathbb Z)$.

La motivación para esta definición, que viene de la geometría simpléctica, es el siguiente hecho, debido a Arquímedes. Considerar el estándar de radio de una esfera en un espacio de 3 dimensiones encerrado en un cilindro de radio uno. Proyecto de la esfera hacia el exterior en el cilindro, ortogonal para el cilindro del eje. Arquímedes teorema dice que este mapa conserva áreas. En términos de Delzant polytopes, usted debe pensar en la esfera de 2 dimensiones tóricas de colector. El correspondiente "polytope" es el intervalo de $[-1,1]$. Arquímedes teorema dice que si usted toma el cilindro $S^1\times [-1,1]$ y el colapso de los círculos $S^1\times\{\pm 1\}$ obtener la esfera como un simpléctica colector. A ver cómo generalizar esto a dimensiones superiores, tomar la n-veces producto del cilindro $S^1\times [0,\infty)$ y considerar el mapa de a $\mathbb{R}^n$ dado por olvidar las $S^1$-factores. La imagen es la positiva "cuadrante" que se menciona en el primer párrafo de arriba. Arquímedes teorema nos dice que si nos colapso de la preimagen de los límites de este cuadrante en una forma controlada, obtenemos algo que se admite una suave estructura simpléctica. I. e., sobre el origen nos colapso de toda la $T^n$-fibra, más en general, sobre cada coordenada $r$-avión que contrato el correspondiente ortogonal copia de $T^{n-r}$ dentro $T^n$. (Para ello recordar cada una de las $S^1$-factor corresponde a una dirección en $\mathbb{R}^n$).

Ahora el significado de Delzant la condición debe ser clara: dado un Delzant polytope P hemos construido un simpléctica colector mediante la toma de $P \times T^n$ y luego del colapso de partes de la frontera. Para decidir cómo, podemos asignar a cada vértice del modelo estándar descrito anteriormente y el colapso como en ese caso. Arquímedes teorema nos dice que el objeto resultante es un buen simpléctica colector con un toro de acción.

Answer 2

Bien, son bastante rígido en el que las normales a sus caras tienen que ser de celosía de vectores. Así que la única deformaciones se deslice las caras perpendiculares a sí mismos. (Por otro lado, usted siempre puede hacer esto, así que no son completamente rígidos.) Y "simple" es una restricción en su forma. La imagen de un Delzant polytope en $GL\_n(\mathbb{Z})$ es otro Delzant polytope, por lo que sólo tiene sentido preguntar acerca de las propiedades que se $GL\_n(\mathbb{Z})$ invariante. Que tiende a descartar obvio propiedades geométricas (por ejemplo, la curvatura) así que no estoy seguro de qué más decir.

ACTUALIZACIÓN: En el tema de "todo lo relacionado comentarios son bienvenidos", aquí es una especulación que no he pensado en serio. Sé una propiedad geométrica que es preservada por $GL_n(\mathbb{R})$. Para $K$ un compacto conjunto convexo, vamos a $A$ ser el volumen de la menor del elipsoide que contengan $K$, e $a$ el volumen de la mayor elipsoide contenida en $K$. Vamos a Definir $s:=a/A$ a ser la esfericidad de $K$. (No estoy seguro si este es el nombre estándar.) Por lo $s=1$ para elipsoides, y menor para todo lo demás. Delzant polytopes tienden a ser una especie de grasa, así que me pregunto si uno pudiera ser un límite inferior para su esfericidad de que era mejor que para el común de los polytopes.

Answer 3

Como "son Bienvenidos todos los comentarios relacionados con" tal vez debo decir que si agrega una condición "reflexiva" (polytope dual es también enrejado polytope) liso Fano que allí son finitamente muchos en cada dimensión, pero el número crece muy rápidamente. Los intentos de clasificar estas han sido un éxito moderado (véase por ejemplo www.imf.au.dk/publications/phd/2008/imf-phd-2008-moe.pdf), pero siguen siendo algo salvajes.