para $x^2+y^2=a^2$ demostrar que $y''=-(a^2/y^3)$

Question

Para $x^2+y^2=a^2$ demostrar que $y''=-(a^2/y^3)$

Lo tengo.

$y^2=a^2-x^2$

$y'=-x/y$

$y''=(-1-y'^2)/y$

Pero entonces me quedo atascado.

Answer 1

La diferenciación implícita da $$ 2x+2yy'=0 \tag{*} $$ Diferenciar de nuevo (después de eliminar el factor común $2$ ): $$ 1+(y')^2+yy''=0 \tag{**} $$ Ahora (*) implica $y'=-x/y$ por lo que se puede sustituir por (**): $$ 1+\frac{x^2}{y^2}+yy''=0 $$ Aislar $y''$ y seguir adelante:

$$y''=-\frac{y^2+x^2}{y^3}$$

Answer 2

Preferiría utilizar la ecuación paramétrica para este tipo de problemas

$x=a\cos \alpha$

$y=a\sin \alpha$

$\frac{dy}{d\alpha}=a \cos \alpha$

$\frac{dx}{d\alpha}=-a \sin \alpha$

$\frac{dy}{dx}=- \cot \alpha$

$\frac{{d}^2y}{d{x}^2}=-\frac{d}{d\alpha} \cot \alpha \cdot\frac{d\alpha}{dx}$

$\frac{{d}^2y}{d{x}^2}=\frac{ (\operatorname{cosec} \alpha)^2} {-a \sin \alpha}$

$\frac{{d}^2y}{d{x}^2}=\frac{ 1} {-a (\sin \alpha)^3}$

$\frac{{d}^2y}{d{x}^2}=\frac{-a^2} {y^3}$