Si$x^4 \equiv -1 \mod p$ entonces$p \equiv 1 \mod 8$

Question

Mientras aprenden sobre el símbolo de Legendre me encontré con este hecho:

Si $x^ 4 \equiv -1 \mod p$ y $p \equiv 1 \mod 8$.

'$p$' Es un primo mayor que $2$.

No pude probarlo. ¿Alguien me puede ayudar a demostrar la misma?

Gracias.

Answer 1

Que $p$ ser una privilegiada. Supongamos que $x^4+1\equiv 0 \textrm{ mod }p$el % es soluble.

$x$ Tiene orden 8 en el grupo multiplicative de $\mathbb{F}_p$.

Una orden del subgrupo debe dividir el orden del grupo, y cuenta con el Grupo cíclico generado por $x$ $8$ de la orden, tenemos $8\mid p-1$.