Demostrando $f(x)$ alcance $\max$ o $\min$ al$f(x)\to0$$|x|\to\infty$.

Question

Supongamos $f:\Bbb R\to\Bbb R$ es continuo, de manera que $f(x)\to0$$|x|\to\infty$. Demostrar que $f$ alcanza un máximo o un mínimo.

Mi intento en la pregunta :

Dado $\epsilon > 0 \ \ \exists \ \alpha > 0$ tal que
$\ |f(x)| < \epsilon\ \ \ \forall \ \ \ \ |x| > \alpha$

Ahora, cuando $\ \ x \in [-\alpha,\ \alpha] $, por el teorema del valor Extremo, ya que $f(x)$ es una función continua en un intervalo cerrado, se alcanza un máximo (decir $ M$) y un mínimo (decir $m$).

Estoy atrapado en esta parte. Creo que la manera de avanzar es mediante el hecho de que podemos hacer $ \epsilon $ tan pequeño como sea posible. Pero no sé cómo demostrar que seguramente va a alcanzar un máximo o un mínimo, o ambos.

Answer 1

Usted está básicamente hecho. Aquí hay 2 pruebas:

WLOG suponga que f no es constante. Para cada ε podemos encontrar una α tal que para todo x fuera de (-α,α), |f(x)| es ε-pequeño.

Puesto que f no es constante, tiene un supremum S y infimum me largo de todo el espacio con S≠I. Puesto que f es acotada, S e I no son infinitos. Desde S≠I, al menos uno no es cero. Elegir ε lo suficientemente pequeño como para que max(|S|,|I|)>ε. entonces sabemos que hay α tal que |f(x)| < ε para todos |x|>α, tan sólo tenemos que maximizar/minimizar la función en el conjunto compacto [-α,α], lo que podemos hacer por EVT. El max es S o el min es yo; esto demuestra el resultado.

Como alternativa, elija $\alpha$ mínimamente (como un infimum) y asumir, sin pérdida de $f$ no es constante. Supongamos por contradicción que $f$ no alcanzar su sup y también no alcanzar su inf. Si $M\geq\varepsilon$, entonces M es un máximo global y si $m\leq-\varepsilon$, entonces m es un mínimo global. Así que la única manera de que esto suceda es si $m$$M$$(-ε,ε)$; esto conduce a una contradicción, como ε→0. (ver chat/comentarios para más detalles)