Deje $B$ ser un refexive espacio de Banach. Quiero mostrar que $$(L^2(0,T;B))^* = L^2(0,T;B^*)$$ y que la doble vinculación se $$\langle F,f \rangle_{L^2(0,T;B^*), L^2(0,T;B)} = \int_0^T \langle F(t), f(t) \rangle_{B^*,B}.$$ Alguien me puede ayudar con cualquiera de las dos partes? Gracias.
Respuesta
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No hay pruebas de que en la generalidad que se desea es que va a ser muy breve. Pero todas las ideas esenciales provienen de la costumbre, escalar caso. En primer lugar tenemos los siguientes:
Definición. Un espacio de Banach $V$ se dice que el Radon-Nikodym de la propiedad con respecto a una medida de espacio $(X, \Sigma, \mu)$ si, para cada $V$valores del vector de medida de la limitada variación $\nu$, lo que es absolutamente continua con respecto a $\mu$, existe un integrable Bochner $f \in L^1(X,V)$ tal que $\nu(E) = \int_E f \, d\mu$ por cada $E \in \Sigma$.
En otras palabras, los espacios con el Radon-Nikodym de la propiedad son precisamente aquellos en los que la generalización de la Radon-Nikodym teorema para funciones escalares sostiene. A continuación, el resultado clave que se necesita para demostrar que es debido a Phillips:
Reflexiva de espacios de Banach tiene el Radon-Nikodym de la propiedad.
Una prueba de esto requiere una cantidad decente de maquinaria y una prueba de este hecho y de otros relacionados con los hechos es el tema del Capítulo 2 de Vector de Medidas por Diestel y Uhl. Ahora, con este hecho bajo nuestro cinturón, tenemos el siguiente resultado:
Teorema. Deje $(X, \Sigma, \mu)$ ser un número finito de medir el espacio, y deje $V$ ser un espacio de Banach tal que $V'$ tiene el Radon-Nikodym de la propiedad. Entonces, para $p \in [1, \infty)$, $L^p(X,V)' \cong L^q(X,V')$ isométricamente, donde $1/p + 1/q = 1$.
Prueba. Supongamos $g \in L^q(X,V')$. Entonces, para $f \in L^p(X,V)$, el mapa de $\Lambda_g(f) = \int_X \langle f, g \rangle \, d\mu$ es claramente lineal continuo funcional, por lo $L^q(X,V') \subseteq L^p(X,V)'$. Para demostrar que la inversa de la inclusión, deje $\Lambda \in L^p(X,V)'$. Para $h \in L^{\infty}(X,V)$, $|\Lambda(h)| \le C \|h\|_p \le C \|h\|_{\infty}$, y, por tanto, $\Lambda$ es también un continuo funcional en $L^{\infty}(X,V)$. Ahora, $\Lambda$ induce una $V'$con valores vectoriales medida absolutamente continua con respecto a $\mu$ dada por $$ \langle \nu(E), x \rangle = \Lambda(x 1_E)$$ para cada una de las $x \in V$. Entonces, como $V'$ tiene el Radon-Nikodym de la propiedad, entonces existe $g \in L^1(X,V')$ tal que $\nu(E) = \int_E g \, d\mu$. Luego, mediante la aproximación de cada una de las $f \in L^p(X,V)$ por funciones simples, tenemos que $\Lambda(f) = \int_X \langle f, g\rangle \, d\mu$. Por último, es sencillo demostrar que $g$ es, de hecho, también en $L^q$.
