Deje que ${x_n}$ ser una secuencia en $R$ de tal manera que $|x_{n+1} - x_n|< \frac {1}{n^2}$ para todos $n \in N$ .
Muestra que la secuencia es convergente.
Si fuera $|x_{n+1} - x_n|= \frac {1}{n^2}$ podría ayudar con el hecho de que $ \sum \frac {1}{n^2}$ es convergente y de desigualdad triangular.
¿Pero qué hacer aquí? Por favor, ayúdame. Gracias de antemano.
Sabemos que $ \sum_ {k \geq1 } \frac {1}{k^{2}} $ es convergente, entonces para todos $ \epsilon >0 $ existe un poco de $N \in\mathbb {N} $ de tal manera que para todos $m,n>N $ tenemos $$ \sum_ {k=n}^{m} \frac {1}{k^{2}}< \epsilon $$ así que $$ \epsilon > \sum_ {k=n}^{m} \frac {1}{k^{2}}> \left |x_{m+1}-x_{m} \right |+ \dots + \left |x_{n+1}-x_{n} \right | \geq\left |x_{m+1}-x_{n} \right | $$ por lo que es una secuencia caucásica y por lo tanto es convergente.
También podemos reformular el problema para que estudiemos series en lugar de secuencias.
Si indicamos $a_1=x_1$ y $a_n=x_n-x_{n-1}$ para $n \ge2 $ Entonces $$x_n = \sum_ {k=1}^n a_k.$$ (Es un serie de telescopios .)
La pregunta de si la secuencia $x_n$ es convergente es equivalente a la pregunta de si la serie $ \sum a_n$ es convergente. (Por definición, la convergencia de una serie equivale a la convergencia de las sumas parciales).
Desde $$ \sum_ {k=1}^ \infty |a_k| \le \sum_ {k=1}^ \infty \frac1 {k^2} < + \infty ,$$ la serie $ \sum a_n$ es absolutamente convergente y, por lo tanto, convergentes.
Así que la secuencia $x_n$ también es convergente.
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