Si $a$ $b$ son dos raíces de $x^4 + x^3 - 1 = 0$ demostrar que $ab$ es una raíz de $x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1$.

Question

Si $a$ $b$ son dos raíces de $x^4 + x^3 - 1 = 0$ demostrar que $ab$ es una raíz de $x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1$.

Los estudiantes y yo no está seguro de cómo ir sobre este problema. También será esto un problema que se puede resolver y demostrar en frente de una clase de 20 minutos?

Answer 1

Probablemente hay un camino más corto, pero creo que de esta manera arroja algo de luz sobre por qué es verdadera:

Deje $a,b,c,d$ las cuatro raíces de $x^4+x^3-1$, por lo que el $x^4+x^3-1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$. Ahora establecer $$ g(x) = (x-ab)(x-ac)(x-ad)(x-bc)(x-bd)(x-cd). $$ Este polinomio es simétrico en las raíces $a,b,c,d$, y por lo que sus coeficientes sean números racionales (ya que los coeficientes de $x^4+x^3-1$ son racionales). Esto explica por qué hay un sextic; para trabajar fuera de sus coeficientes, se necesita meterse con polinomios simétricos.

Los coeficientes del polinomio original nos dicen que $a+b+c+d=-1$, $abcd=-1$, y $ab+ac+ad+bc+bd+cd=abc+abd+acd+bcd=0$. Por lo tanto el coeficiente de $x^5$ $g(x)$ es igual a $0$; el coeficiente de $x^4$ es igual a $$ abac+abad+abbc+abbd+abcd+acad+acbc+acbd+accd+adbc+adbd+cdad+bcbd+bccd+bdcd = (a + b + c + d) (a b c + a b d + c d + a b c d) - abcd = 1; $$ y así sucesivamente - el coeficiente de $x^0$ es igual a $(abcd)^3=-1$.

(Uno puede jugar el mismo juego con $f(x)=(x-a^2)(x-b^2)(x-c^2)(x-d^2)$ para obtener el polinomio $x^4−x^3−2x^2+1$.)

Answer 2

La resultante $$h(z)=\text{Res}( \ \text{Res} ( \ z-xy, \ x^4+x^3-1, \ x), \ y^4+y^3-1, \ y)$$ es una $16^{th}$grado del polinomio en $z$ con raíces $\{a_ia_j:i,j=1,2,3,4\}$ donde $a_1,a_2,a_3,a_4$ son las raíces de $x^4+x^3-1$.

El polinomio $h(z)$ $h(z)= \left( {z}^{4}-{z}^{3}-2\,{z}^{2}+1 \right) \left( {z}^{6}+{z}^{4}+{z}^{3}-{z}^{2}-1 \right)^2$.

Las raíces del polinomio $\left( {z}^{4}-{z}^{3}-2\,{z}^{2}+1 \right)$ $a_i^2$ y las raíces de $\left( {z}^{6}+{z}^{4}+{z}^{3}-{z}^{2}-1 \right)$$a_ia_j$$i<j$.

Answer 3

La proposición es verdadera sólo para distintas raíces $\rm\, a\ne b.\:$, Como tal, la prueba se requiere el uso de $\rm\, a\ne b,\:$ por ejemplo, por la anulación de $\rm\,a-b.\:$ Deje $\rm\,f(x)\,$ ser el cuarto grado y deje $\rm\,g(x)\,$ ser el sectic. A continuación, $\rm\,g(ab)\,$ puede ser reducido a $\,0\,$ mediante $\rm\,\color{#C00}{f(a)} = 0 = \color{#C00}{f(b)}\ $ $\rm\ \color{#C00}{h(a,b)} = \dfrac{f(a)-f(b)}{a-b} =\, 0,\,$ es decir

$$\rm\begin{eqnarray} g(ab)\,\ &=&\ \rm (a^5\!+ a^4b+ a^3b^2\!+\!a^2 b^2\!+a^3\!+1)\ \color{#C00}{f(a)} \\ && \ + \rm\ (a^6 b^2\!-\!a^6 b+a^6\!+a^4)\ \color{#C00}{f(b)}\\ &&\ -\ \rm (a^6\!+a^4\!-\!a^3)\ \color{#C00}{ h(a,b)}\\ &=&\ \ 0\quad\rm \end{eqnarray}$$

Comentario $\ $ No puede ser más simple expresión (por ejemplo, una simétrica). No he tratado de simplificar.