Teoremas de lo que Implica su Propia Generalización

Question

Hay ejemplos de teoremas que posteriormente se encontró que implica su propia generalización?

He aquí un ejemplo de lo que quiero decir: Hipotéticamente, supongamos que resultó de Fermat Poco Teorema: $a^p \equiv a \pmod{p}$ $a \in \mathbb{Z}$, $p$ prime. Supongamos que, posteriormente, fueron capaces de demostrar el Teorema de Euler: $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ el uso de Fermat Poco Teorema y tal vez algunos otros resultados. Esto no puede ser posible, los estoy usando como un ejemplo.

Estoy buscando un ejemplo.

Answer 1

Cauchy teorema de los triángulos puede ser usado para demostrar Cauchy teorema arbitrarias de los trazados cerrados.

Deje $f$ ser analítico en un simplemente se conecta la región de $R$. A continuación,$\int_T f(z) dz = 0$, para cualquier triángulo $T$$R$. Esto es útil en la demostración de la más general hecho de que $\int_C f(z) dz = 0$, por cualquier camino cerrado $C$$R$.

Answer 2

No es exactamente lo que usted está pidiendo, pero puede ser de interés para usted para saber que hay una amplia clase de problemas de combinatoria, donde el caso general puede ser probado por probar un par de casos específicos. Un ejemplo sencillo es la nota que $$ \begin{array}{rcl} 1 &=& \frac{1(1 + 1)}{2}\\ 1 + 2 &=& \frac{2(2+1)}{2}\\ 1 + 2 + 3 &=& \frac{3(3+1)}{2} \end{array} $$

y a la conclusión de que $$ 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} $$

que se justifica debido a que (considerando segundo diferencias), $1 + 2 + \ldots + n$ es de segundo grado en $n$, de modo que basta que se compruebe $3$ valores de una propuesta cuadrática de la solución. Este tipo de idea es explotado con gran éxito en el hermoso libro , A=B.

Answer 3

Teorema de Rolle en el análisis elemental implica su generalización, es decir, el valor medio teorema.

Answer 4

He aquí un ejemplo simple de dos teoremas, que suele aparecer (en Estados Unidos), en la escuela secundaria Álgebra 2:

Thm 1. (El Teorema del Resto) Deje $p(x)$ ser cualquier polinomio, y $a \in \mathbb{R}$ una constante. Entonces existe algún polinomio $q(x)$ tal que $p(x)=(x-a)q(x) + p(a)$.

Thm 2. (El Teorema de Factor) Deje $p(x)$ ser cualquier polinomio, y $a \in \mathbb{R}$ una constante. A continuación, $(x-a)$ es un factor de $p(x)$ si y sólo si $p(a)=0$.

A primera vista, parece que los Thm. 1 es el caso general, y Thm. 2 corolario o caso especial de Thm 1. Y esto no es malo. Pero, de hecho, también puede ejecutar el argumento en la otra dirección: es bastante sencillo para demostrar Thm. 1 aplicando el Teorema 2 para el polinomio $\hat{p}(x)=p(x)-p(a)$.