Demostrar que una función es biyectiva y hallar su inversa

Question

La función $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}^2$ se define por $f(x,y)=(2x+3y,x+2y)$ . Demuestre que $f$ es biyectiva y hallar su inversa.

Tengo hasta ahora: Biyectiva = $1-1$ y hacia.

$1-1$ si $(2x_1+3y_1,x_1+2y_1)=(2x_2+3y_2,x_2+2y_2)$

Entonces $$2x_1+3y_1=2x_2+3y_2 \qquad (1)$$ $$x_1+2y_1=x_2+2y_2 \qquad (2)$$

$(1)-(2)$

$$x_1+y_1=x_2+y_2$$

$$x_1=x_2+y_2-y_1$$

Sustituyendo en la ecuación 1:

$$2(x_2+y_2-y_1)+3y_1=2x_2+3y_2$$

$$y_1=3y_2-2y_2$$

$$y_1=y_2$$

Sustituyendo en la ecuación 2:

$$x_1+2y_1=x_2+2y_1$$

$$x_1=x_2$$

$$(2x_1+3y_1,x_1+2y_1)=(2x_2+3y_2,x_2+2y_2)$$

Así 1-1

En

si $(u,v) \in \mathbb{R}^2$ (codominio) queremos $(x,y)$ con $f(x,y)=(u,v)$

$$(2x+3y,x+2y)=(u,v)$$

$$2x+3y=u$$

$$x+2y=v$$

Eliminar x:

$$y=2v-u$$

Sustituyendo:

$$2x+3(2v-u)=u$$

$$2x+6v-3u=u$$

$$2x=4u-6v$$

$$x=2u-3v$$

Por lo tanto:

$$f(2u-3v,2v-u)=(u,v)$$

Ahora, ¿cómo encontrar su inversa? ¿Y es correcto lo que he hecho?

Answer 1

Superpista: Si hubieras empezado por la segunda parte ("y hallar su inversa") te habrías evitado "coimplemente" los cálculos de la primera parte.

Answer 2

Usted tiene $f(x,y)=(2x+3y,x+2y)$ . Esta función es lo que llamamos lineal, porque satisface la siguiente propiedad: $f(\lambda v+w) = \lambda f(v)+f(w)$ para $v,w\in \Bbb R^2$ como puedes comprobar.

Ahora bien, las funciones lineales son mucho más fáciles de tratar que las funciones generales. ¿Por qué? Porque pueden ser (al menos en espacios como $\mathbb{R}^2$ que son lo que llamamos de dimensión finita) expresarse en términos de matrices. En efecto, mira que tienes lo siguiente:

$$f(x,y)=xf(1,0)+yf(0,1)$$

Exactamente por esa propiedad de linealidad. En ese caso, si sabes de multiplicación de matrices, verás que esto es igual a decir que

$$f(x,y)=\begin{pmatrix}f(1,0) & f(0,1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix},$$

donde consideramos elementos de $\mathbb{R}^2$ como columnas. En ese caso, tiene

$$f(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix},$$

si llamamos a esa matriz $A$ entonces $f(v)=A v$ donde $v=(x,y)$ . Ahora, mira que por eso, las cosas se ponen más fáciles. De hecho, para demostrar que $f$ es inyectiva, equivale a demostrar que $f(v)=f(w)$ implica $v=w$ pero $f(v)=f(w)$ es lo mismo que $Av=Aw$ o $A(v-w)=0$ . Esto implica $v=w$ si y sólo si el sistema homegéneo de ecuaciones lineales $Av=0$ sólo tiene la solución trivial. Es decir, si y sólo si $\det A \neq 0$ . Pero puede comprobar que $\det A = 1$ de modo que $A$ es invertible, por lo tanto, $A(v-w)=0$ implica $v=w$ y, por tanto $f$ es inyectiva.

Para demostrar la subjetividad, observe que $A$ al ser invertible, ya implica que, al poder multiplicar

$$f(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$

a la izquierda por $A^{-1}$ encontrar $(x,y)$ . Es fácil, porque

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}3 & -2\end{pmatrix},$$

por lo que podemos tomar la inversa como $g(v)=A^{-1}v$ . En ese caso, $f(g(v))=A(A^{-1}v)=v$ y de forma similar $g(f(v))=A^{-1}(A(v))=v$ Así que $g$ es inversa a $f$ y por lo tanto $f$ es biyectiva.

Answer 3

Pista: Quieres una función $g(x,y)$ tal que $g(2x+3y,x+2y) = (x,y)$ . En el trabajo que ya has mostrado, estableces $u = 2x+3y$ y $v = x+2y$ y a continuación se resuelve para $x$ y $y$ en términos de $u$ y $v$ . Estas expresiones para $u$ y $v$ están relacionados de algún modo con $g$ .

Answer 4

Que $f(2u-3v,2v-u)=(u,v)$ significa que con $g(u,v)=(2u-v,2v-u)$ tienes $f\circ g=\mathrm{id}$ .

Si no hubieras demostrado ya que $f$ es inyectiva, se podría hacer comprobando que $g\circ f=\mathrm{id}$ . (De hecho, el álgebra lineal nos dice que "por razones de dimensión" esto se deduce automáticamente en este caso).