Usted tiene f(x,y)=(2x+3y,x+2y) . Esta función es lo que llamamos lineal, porque satisface la siguiente propiedad: f(λv+w)=λf(v)+f(w) para v,w∈R2 como puedes comprobar.
Ahora bien, las funciones lineales son mucho más fáciles de tratar que las funciones generales. ¿Por qué? Porque pueden ser (al menos en espacios como R2 que son lo que llamamos de dimensión finita) expresarse en términos de matrices. En efecto, mira que tienes lo siguiente:
f(x,y)=xf(1,0)+yf(0,1)
Exactamente por esa propiedad de linealidad. En ese caso, si sabes de multiplicación de matrices, verás que esto es igual a decir que
f(x,y)=(f(1,0)f(0,1))(xy),
donde consideramos elementos de R2 como columnas. En ese caso, tiene
f(x,y)=(2312)(xy),
si llamamos a esa matriz A entonces f(v)=Av donde v=(x,y) . Ahora, mira que por eso, las cosas se ponen más fáciles. De hecho, para demostrar que f es inyectiva, equivale a demostrar que f(v)=f(w) implica v=w pero f(v)=f(w) es lo mismo que Av=Aw o A(v−w)=0 . Esto implica v=w si y sólo si el sistema homegéneo de ecuaciones lineales Av=0 sólo tiene la solución trivial. Es decir, si y sólo si det . Pero puede comprobar que \det A = 1 de modo que A es invertible, por lo tanto, A(v-w)=0 implica v=w y, por tanto f es inyectiva.
Para demostrar la subjetividad, observe que A al ser invertible, ya implica que, al poder multiplicar
f(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
a la izquierda por A^{-1} encontrar (x,y) . Es fácil, porque
A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}3 & -2\end{pmatrix},
por lo que podemos tomar la inversa como g(v)=A^{-1}v . En ese caso, f(g(v))=A(A^{-1}v)=v y de forma similar g(f(v))=A^{-1}(A(v))=v Así que g es inversa a f y por lo tanto f es biyectiva.
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¿Conoces las matrices?
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Se ve bien. Y has encontrado la transformación inversa. Envía (u,v) a (2u−3v,2v−u) . Si lo desea, puede cambiar las variables a x y y .
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¿Así que u será x y v será y?
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Sí, si quieres utilizar esos nombres para las variables. Para mí, u y v son igual de buenos, pero puede que esperen que utilices x y y .
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¿entonces la inversa es literalmente: (2-3y,2y-x)?
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@André Nicolas: Cambiar los nombres de las variables en el codominio de f de (u,v) a (x,y) es un muy malo idea.
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Estoy de acuerdo, pero por ejemplo al mirar la inversa de x3 hay muchas posibilidades de que y1/3 se marcaría como incorrecta.