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Demostrar que una función es biyectiva y hallar su inversa

La función f:R2R2 se define por f(x,y)=(2x+3y,x+2y) . Demuestre que f es biyectiva y hallar su inversa.

Tengo hasta ahora: Biyectiva = 11 y hacia.

11 si (2x1+3y1,x1+2y1)=(2x2+3y2,x2+2y2)

Entonces 2x1+3y1=2x2+3y2(1) x1+2y1=x2+2y2(2)

(1)(2)

x1+y1=x2+y2

x1=x2+y2y1

Sustituyendo en la ecuación 1:

2(x2+y2y1)+3y1=2x2+3y2

y1=3y22y2

y1=y2

Sustituyendo en la ecuación 2:

x1+2y1=x2+2y1

x1=x2

(2x1+3y1,x1+2y1)=(2x2+3y2,x2+2y2)

Así 1-1

En

si (u,v)R2 (codominio) queremos (x,y) con f(x,y)=(u,v)

(2x+3y,x+2y)=(u,v)

2x+3y=u

x+2y=v

Eliminar x:

y=2vu

Sustituyendo:

2x+3(2vu)=u

2x+6v3u=u

2x=4u6v

x=2u3v

Por lo tanto:

f(2u3v,2vu)=(u,v)

Ahora, ¿cómo encontrar su inversa? ¿Y es correcto lo que he hecho?

2 votos

¿Conoces las matrices?

0 votos

Se ve bien. Y has encontrado la transformación inversa. Envía (u,v) a (2u3v,2vu) . Si lo desea, puede cambiar las variables a x y y .

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¿Así que u será x y v será y?

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Hagen von Eitzen Puntos 171160

Superpista: Si hubieras empezado por la segunda parte ("y hallar su inversa") te habrías evitado "coimplemente" los cálculos de la primera parte.

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Filip Ekberg Puntos 22189

Usted tiene f(x,y)=(2x+3y,x+2y) . Esta función es lo que llamamos lineal, porque satisface la siguiente propiedad: f(λv+w)=λf(v)+f(w) para v,wR2 como puedes comprobar.

Ahora bien, las funciones lineales son mucho más fáciles de tratar que las funciones generales. ¿Por qué? Porque pueden ser (al menos en espacios como R2 que son lo que llamamos de dimensión finita) expresarse en términos de matrices. En efecto, mira que tienes lo siguiente:

f(x,y)=xf(1,0)+yf(0,1)

Exactamente por esa propiedad de linealidad. En ese caso, si sabes de multiplicación de matrices, verás que esto es igual a decir que

f(x,y)=(f(1,0)f(0,1))(xy),

donde consideramos elementos de R2 como columnas. En ese caso, tiene

f(x,y)=(2312)(xy),

si llamamos a esa matriz A entonces f(v)=Av donde v=(x,y) . Ahora, mira que por eso, las cosas se ponen más fáciles. De hecho, para demostrar que f es inyectiva, equivale a demostrar que f(v)=f(w) implica v=w pero f(v)=f(w) es lo mismo que Av=Aw o A(vw)=0 . Esto implica v=w si y sólo si el sistema homegéneo de ecuaciones lineales Av=0 sólo tiene la solución trivial. Es decir, si y sólo si det . Pero puede comprobar que \det A = 1 de modo que A es invertible, por lo tanto, A(v-w)=0 implica v=w y, por tanto f es inyectiva.

Para demostrar la subjetividad, observe que A al ser invertible, ya implica que, al poder multiplicar

f(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

a la izquierda por A^{-1} encontrar (x,y) . Es fácil, porque

A^{-1}=\begin{pmatrix}-2 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}3 & -2\end{pmatrix},

por lo que podemos tomar la inversa como g(v)=A^{-1}v . En ese caso, f(g(v))=A(A^{-1}v)=v y de forma similar g(f(v))=A^{-1}(A(v))=v Así que g es inversa a f y por lo tanto f es biyectiva.

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Ricky Ricardo Puntos 201

Pista: Quieres una función g(x,y) tal que g(2x+3y,x+2y) = (x,y) . En el trabajo que ya has mostrado, estableces u = 2x+3y y v = x+2y y a continuación se resuelve para x y y en términos de u y v . Estas expresiones para u y v están relacionados de algún modo con g .

1voto

Wade Mealing Puntos 111

Que f(2u-3v,2v-u)=(u,v) significa que con g(u,v)=(2u-v,2v-u) tienes f\circ g=\mathrm{id} .

Si no hubieras demostrado ya que f es inyectiva, se podría hacer comprobando que g\circ f=\mathrm{id} . (De hecho, el álgebra lineal nos dice que "por razones de dimensión" esto se deduce automáticamente en este caso).

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