La covarianza de Puente Browniano?

Question

Estoy confundido por esta pregunta. Todos sabemos que el Puente Browniano también puede ser expresada como:

$$Y_t=bt+(1−t)\int_a^b \! \frac{1}{1-s} \, \mathrm{d} B_s $$

Donde el movimiento Browniano terminará a b a $t = 1$ casi seguramente. De ahí que me puede escribir como:

$$Y_t = bt + I(t)$$

donde $I(t)$ es una integral estocástica, y en este caso es una martingala. Ya que es una martingala, la co-varianza se puede calcular como:

\begin{array} {lcl} E[Y_t Y_s] & = & b^2 ts + E(I(t)I(s)] \\ & = & b^2 ts + E\{(I(t)-I(s))* I(s) \} + E [I(s)^2] \\& =&b^2 ts + Var[I(s)] + b^2s^2 \\ & = & b^2 ts + b^2 s^2 + s(1-s) \end{array}

Por lo tanto la varianza es sólo $ b^2 s^2 + s(1-s)$. Sin embargo he leído en línea, el co-varianza de la Browniano Puente debe ser $s(1-t)$. Estoy relaly confundido. Por favor avise. Muchas gracias!

Answer 1

Creo que el dado a la representación de la Puente Browniano no es correcto. Debería leer

$$Y_t = a \cdot (1-t) + b \cdot t + (1-t) \cdot \underbrace{\int_0^t \frac{1}{1-s} \, dB_s}_{=:I_t} \tag{1}$$

en su lugar. Por otra parte, la covarianza es definido como:$\mathbb{E}((Y_t-\mathbb{E}Y_t) \cdot (Y_s-\mathbb{E}Y_s))$, de modo que se olvidó de restar la expectativa de valor de $Y$ (tenga en cuenta que $\mathbb{E}Y_t \not= 0$).

Aquí es una prueba de uso de la representación dada en $(1)$:

$$\begin{align} \mathbb{E}Y_t &= a \cdot (1-t) + b \cdot t \\ \Rightarrow \text{cov}(Y_s,Y_t) &= \mathbb{E}((Y_t-\mathbb{E}Y_t) \cdot (Y_s-\mathbb{E}Y_s)) = (1-t) \cdot (1-s) \cdot \mathbb{E}(I_t \cdot I_s) \\ &= (1-t) \cdot (1-s) \cdot \underbrace{\mathbb{E}((I_t-I_s) \cdot I_s)}_{\mathbb{E}(I_t-I_s) \cdot \mathbb{E}I_s = 0} + (1-t) \cdot (1-s) \mathbb{E}(I_s^2) \tag{2} \end{align}$$

para $s \leq t$ cuando se utilizó la independencia de $I_t-I_s$$I_s$. Por Itô la isometría, obtenemos

$$\mathbb{E}(I_s^2) = \int_0^s \frac{1}{(1-r)^2} \, dr = \frac{1}{1-s} -1.$$

Así llegamos a la conclusión de $(2)$:

$$\text{cov}(Y_t,Y_s) = (1-t) \cdot (1-s) \cdot \left( \frac{1}{1-s}-1 \right) = s-t \cdot s = s \cdot (1-t).$$