¿Son los problemas de electrodinámica en el plano complejo relevantes para la vida real?

Question

Esta es una pregunta que hice en Maths SE, y me sugirieron que la hiciera aquí. Esta es una copia directa de esa pregunta .

He estado leyendo el excelente libro de Tristan Needham, Visual Complex Analysis. El final del libro trata casi por completo de física, utilizando simetrías de mapeos conformes para generalizar la famosa técnica del método de las imágenes en electrodinámica. El método de las imágenes se utiliza para encontrar el campo eléctrico debido a una carga cuando una superficie conectada a tierra (como una esfera o un plano) está cerca. (Véase, por ejemplo Wikipedia .)

Sin embargo, los problemas me parecen tener muy poca aplicación en la "vida real", el principal problema es que el plano complejo es bidimensional, mientras que nosotros vivimos en un mundo tridimensional.

Para ver este problema concretamente, la fuerza electrostática es va como $F\sim \frac{1}{r^2}$ porque la superficie de una bola de radio $r$ centrado en la carga es proporcional a $r^2$ . Sin embargo, como el plano complejo es bidimensional, una carga en el plano complejo produce un campo que va como $\frac1r$ . Así que cualquier solución que encontremos a un problema de este tipo en el plano complejo no es relevante en 3d.

Y esta es mi pregunta, ¿hay alguna aplicación física de esta técnica? ¿O es completamente irrelevante?

Answer 1

Sí y no.

Como escribió Muphrid en math.se, los problemas 2D en la "vida real" son realmente problemas 3D en los que se ha ignorado una dimensión porque el sistema tiene simetría traslacional a lo largo de ella. Por lo tanto, una carga puntual en 2D corresponde a una carga lineal infinitamente larga en tres dimensiones - que de hecho tiene una fuerza que escala como $1/r$ .

Se trata de un sistema físico muy útil y su comprensión se ve muy favorecida por el uso del análisis complejo. Sin embargo, tiene el inconveniente muy real de que es no un sistema físico real: las varillas infinitamente largas son difíciles de encontrar en los armarios de los laboratorios. Por lo tanto, todos los problemas en 2D sólo pueden ser aproximaciones a un sistema en 3D en el que las variaciones a lo largo de la tercera dimensión se producen en escalas de longitud mucho mayores que las otras dos, y eso no es algo irrazonable.

Lo mismo ocurre con las simulaciones de dinámica de fluidos en 2D: si un ala de avión es larga, es razonable modelizarla como un flujo en 2D sobre su sección transversal, sobre todo si nos permite comprender bien la física. Aunque el modelo 2D nunca puede ser una representación muy exacta de los sistemas reales -excepto, quizá, en los experimentos en túneles de viento muy restringidos-, la visión física que obtenemos de él puede transportarse muy a menudo a situaciones mucho más complejas.