Necesidad del Axioma de Elección en el Análisis Funcional dado ZF + Dependiente de la Elección

Question

¿Qué conseguimos con el Axioma de Elección (AC) en el Análisis Funcional que no puede ser realizada con Zermelo-Fraenkel (ZF) más el Axioma de la Dependiente de la Elección (DC)?

Así, por ejemplo, sólo sacudió el polvo y abrió mis viejos apuntes de clase y vi

1. De Hahn-Banach (ver nota abajo)

2. Categoría de Baire (ver nota abajo)

3. Asignación abierta / Cerrada Gráfico thrms

4. Uniforme De Acotamiento Principio
5. Proyección Lema (Espacio De Hilbert)
6. Unidad de Bola es débil-compacto (de Banach-Algaoglu)
7. Riesz Teorema de Representación (ver nota abajo)
8. Teorema Espectral
9. La separación de conjuntos Convexos por Hyperplanes
10. Teoremas fundamentales sobre las funciones de distribución/L^P espacios

... y cualquier otro teoremas que usted puede pensar que el ajuste en este tema de ser bien conocido a nadie que tomaron un curso básico en el análisis funcional y útil para las personas que utilizan el análisis en su trabajo. Por favor, añadir a la lista b/c estoy seguro de que me olvidé de algunos teoremas.

(nota de Hahn-Banach: En el espíritu de la pregunta, la forma más concreta de que es todavía abstracto suficiente para su uso en las pruebas de los otros teoremas está bien aquí. Por ejemplo, en mis notas he a $p$ sublinear en un N. V. S. $X$ $V$ un subespacio de $X$, $f\in V^*$ y $|f|\le p$ $V$ como de los supuestos.

nota sobre la Categoría de Baire: La versión de que cada espacio métrico (o espacio de Banach) es un espacio de Baire probablemente sería suficiente aquí, ya que creo que el segundo que localmente compacto Hausdorff de espacios de Baire no podría ser de material estándar para un curso básico en el Análisis Funcional. Por favor me corrija si me equivoco!)

Así, que requieren de CA en caso de que ya acepta ZF+DC?

Editar Esta es la intención de ser más una cuestión acerca de la lógica interna de las dependencias de Análisis Funcional que acerca de la lógica y teoría de conjuntos. Una buena respuesta, no necesita probar cada uno de los teoremas por separado. En particular, Uno puede demostrar teoremas $n_1$ $n_2$ puede ser demostrado con DC por citar los buenos enlaces. Luego dicen que "un estándar de prueba para $n_3$ usa $n_1$ y algunos epsilon delta cosas. Un estándar de prueba $n_4$ usa $n_2$ $n_3$ más la imagen de conjuntos compactos es compacto, así también no necesita de CA completa." Para los que no necesitan de CA, tal vez un buen enlace para uno y, a continuación, un enlace que muestra que otros son equivalentes en virtud de la ZF.

En otras palabras, lo que estoy buscando es alguien que se tome el par de teoremas sobre DC vs AC que ya han sido probadas, de carne y de este con el resto de (básico) análisis funcional discutiendo dependencias lógicas dentro del campo del análisis funcional.

Por favor, sólo suponga un fondo en el análisis funcional, no en Fundaciones (conjuntos de lógica//etc. más allá del uso cotidiano). Referencias a otras preguntas donde los detalles han sido trabajados en más rigor son más que suficiente.

Answer 1

Hay un evidente elemento que falta en su lista: la existencia de nonmeasurable conjuntos. El segundo Solovay modelo (ver aquí) es un modelo de ZF+DC y todos sus conjuntos de Lebesgue medibles. Sin poder hablar de la existencia de nonmeasurable conjuntos resulta difícil motivar a la maquinaria de $\sigma$-álgebras. Además Terry Tao ha apuntado algunas de las ingeniosas aplicaciones de nonmeasurable conjuntos, en particular en el contexto de Robinson marco.

En otra dirección, que no puede ni siquiera empezar a hablar de la Piedra-checa compactification, por ejemplo, $\beta\mathbb N$, a menos que haya algo más fuerte que la de DC.

Mi conjetura sería que la existencia de un subespacio invariante de un exponencialmente compacta de operador en el espacio de Hilbert no puede ser establecido sin una forma más fuerte de la elección. Sin duda Lomonosov prueba, aunque sea sencillo, utiliza un potente motor de punto fijo resultados que más probabilidades de depender de CA.