Usos del lema que cubre Lebesgue

Question

Considere la posibilidad de Lebesgue cubre lema de la siguiente forma:

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico compacto y deje $\{U_i\}_{i\in I}$ ser una cubierta abierta de a $X$. Entonces existe $\delta>0 $ de manera tal que cada subconjunto $Y$ $X$ de diámetro inferior o igual a $\delta$ se encuentra dentro de algunos $U_i$.

¿Cuáles son posiblemente las más importantes y sorprendentes usos de este lema el nombre de un famoso matemático? He visto un solo uso y que estaba en la derivación de el grupo fundamental del círculo, el uso de $\mathbb R$ como la universalización de la cobertura. Sin embargo no puedo imaginar que este es el único, sobre todo porque en el más general de la configuración de cubrir los espacios, es posible prescindir de este lema. Es este lema más importante, fundamentalmente acorde con su nombre, y si es así, ¿cuáles son algunos de los usos que convencer a mí mismo?

Answer 1

Si recuerdo correctamente, la aplicación básica de este en mi topología de la clase fue para demostrar que continua mapas de compacto métrica espacios fueron uniformemente continua.

Sin embargo, el lema es realmente importante en la topología algebraica. Se utiliza en casi todas partes donde usted necesita para cortar tu dominio (el intervalo para una ruta de acceso o el cuadrado de una homotopy) en lo suficientemente pequeñas partes. Desde la parte superior de mi cabeza, que se utiliza en la prueba de Seifert-van Kampen del teorema, diferentes resultados en la cobertura de espacios, probablemente la escisión teorema de homología singular etc.

Answer 2

Este lema es el ingrediente clave en la prueba de que, para espacios metrizables, la compacidad topológica es lo mismo que la compacidad secuencial. Cfr. Munkres Topology , capítulo 3, teorema 28.2.