¿Por qué$4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{\vdots}}}$ es un número irracional?

Question

¿Por qué$4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{\vdots}}}$ es un número irracional?

Answer 1

$$x=4+\frac{1}{x}$ $$$x^2-4x-1=0$ $$$x=2\pm\sqrt{5}$ $ so$$x=2+\sqrt{5}$ $

Answer 2

Primero, ¿qué es la fracción? Denotemos que es igual a$L$.

ps

Mira eso

ps

Dándonos

ps

Como$$L=4+\cfrac1{4+\cfrac1{4+\cfrac1{4+\frac1\ddots}}}$ es positivo,

ps

Answer 3

Puedes encontrar el número real que corresponde a esa fracción continua resolviendo:

$4 +\frac 1x = x$

Que se convierte en un cuadrático$x^2-4x-1=0$

La solución te otorga$x=2+\sqrt 5$

Por derecho, primero debes probar la convergencia de la fracción continua, pero omití esa parte.

Answer 4

Usted puede reemplazar su infinita secuencia de cuatro patas con cualquier secuencia infinita de números naturales y seguirá siendo un ser irracional. Cada positivos racional número tiene exactamente dos representaciones como una simple continuación de la fracción y ambos son finitos. Por lo tanto, el valor de cualquier infinita simple continuación de la fracción es un número irracional. Si la fracción es periódica (como en este caso) el valor es una ecuación cuadrática surd.