Encuentre todas las funciones holomórficas st$f(0) = 0$ y$f'(z) = f(z)g(z)$ para todo$z \in U$

Question

Permita que$U$ sea un subconjunto abierto, simplemente conectado, de$\Bbb C$ (no todos de$\mathbb{C}$) que contenga$0$ y$1$.

Dada una función holomórfica$g: U \rightarrow \mathbb{C}$ con$g(0) \neq g(1)$, ¿cómo se encuentran todas las funciones holomórficas$f: U \rightarrow \mathbb{C}$ de modo que

$f(0) = 0$ y

$f'(z) = f(z)g(z)$ para todos $z \in U$?

Answer 1

SUGERENCIA: observe que, siempre que$f(z)\neq0$ $$ f '(z) = f (z) g (z) \ Longleftrightarrow g (z) = \ frac {f' (z)} {f (z)} = (\ log f (z)) '$$

Answer 2

La única función de este tipo es$f=0$. Porque si$f$ no desaparece de manera idéntica, entonces$f$ tiene un cero de algún orden finito$n$ en el origen. Por lo tanto,$f'$ tiene un cero de orden$n-1$. Pero$fg$ tiene un cero de orden al menos$n$, por lo que$f'=fg$ es imposible.