$$ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {2 ^ {3n}} {2 ^ {4n} + 2 ^ {2n}} $$ Sé que converge gracias a WolframAlpha , pero quiere saber exactamente qué converge hacia. Puedo calcular el decimal, pero no sé cómo comenzar a encontrar la forma cerrada.
Respuesta
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Según esta respuesta , la suma equivale a
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{-k}}{1+2^{-2k}} = \frac14 ( \vartheta_3(1/2)^2 - 1)$$
where $ \ vartheta_3 (q)$ is a Jacobi Theta function.
Numerically, WA (using expression EllipticTheta[3, 0, 1/2]^2 - 1 ) gives a number $$0.8830930035647435252069892946651177983893073315219718$$ which does match the value of the sum I computed so far.
Update
One can also express the sum in terms of Dedekind Eta function. Let $ H = \ {\; z \ in \ mathbb {C}: \ Im z> 0 \; \} $ sea el plano complejo de la mitad superior. Para$\tau \in H$, sabemos:$$\vartheta_3(e^{i\pi\tau}) = \frac{\eta\left(\frac{\tau+1}{2}\right)^2}{\eta(\tau+1)}$$ This implies the sum has an alternate closed-form (a little bit ugly for my taste):
$$\frac14 \left[\;\eta\left(\frac12+ i\frac{\log 2}{2\pi}\right)^4 \eta\left(1+i\frac{\log 2}{\pi}\right)^{-2} - 1 \;\right]$ $
En WA, se puede evaluar numéricamente esta forma alternativa cerrada ingresando:
(DedekindEta[1/2 + I*Log(2)/(2*Pi)]^4/DedekindEta[1 + I*Log(2)/(Pi)]^2 - 1)/4
Como se esperaba, esto le da el mismo número que el anterior.
