¿Cómo compruebo que entre cualquier número$5$ de enteros, puede encontrar$3$ para que su suma sea divisible por$3$?

Question

¿Cómo pruebo que entre cualquier número$5$ enteros, pueda encontrar$3$ tal que su suma sea divisible por$3?$ Me doy cuenta de que esta es una pregunta de teoría de números y utilizamos la aritmética modular , pero no estoy seguro de dónde comenzar con esta situación específica.

Answer 1

Considere el módulo de la clase de residuos$3$ de cada uno de los cinco números. Si tres de ellos son iguales, entonces los números correspondientes a ellos funcionarán. De lo contrario, no hay tres números con las mismas clases de residuos, pero solo hay$3$ clases de residuos potenciales, y eso significa que los tres realmente ocurren. Los números correspondientes a estas clases funcionan.

Answer 2

Todos los enteros se pueden representar como$3n+1, 3n+2$ o$3n; n \in \mathbb{Z}$. Entre los cinco enteros, si hay al menos un número entero de cada formulario, entonces su suma sería divisible por$3$, como$3a+(3b+1)+(3c+2)=3(a+b+c)+3 \equiv 0 \, (\mathrm{mod} \; 3)$

Si no lo hay, todos los números son de las dos formas restantes. Entonces, hay al menos tres enteros de la misma forma, lo cual es obvio usando el principio del pozo de paloma. Su suma sería divisible por 3 como$(3a+i)+(3b+i)+(3c+i)=3(a+b+c+i)\equiv 0 \, (\mathrm{mod} \; 3);i =0,1,2$ Por lo tanto, completando la prueba.

Answer 3

Sugerencia : principio de casillero. $5$ pigeons (integers) y$3$ encasillados (números del formulario$3n, 3n+1, 3n+2$). Esto funciona para$5$ o$4$ enteros distintos entre$5$. Si$3$ o más enteros son iguales, entonces es trivial ya que tiene 3 veces el mismo número, digamos$k$, entonces$k+k+k=3k$ es obviamente divisible por$3$ sin importar que fue.

Answer 4

Considerar el resto de los números cuando se divide por 3. Claramente sólo hay tres posibles restos: 0, 1 o 2.

• Si todos estos restos se producen entre los números dados, entonces la suma de tres números con diferentes restos producirá una suma que es divisible por 3 (desde 0 + 1 + 2 = 3).

• De lo contrario, al menos uno de los tres restos qué no se producen entre los cinco números dados. Por el principio del palomar, al menos uno de los otros dos restos deben por lo tanto se producen más de dos veces (desde 5 > 2 × 2). La suma de tres números con el mismo resto será entonces el rendimiento de una suma es divisible entre 3.

Answer 5

Considera los siguientes siete números:

$a_1\\a_2\\a_3\\a_4\\a_5\\a_1+a_2+a_3+a_4\\a_2+a_3+a_4+a_5$

Como hay siete números, tres de ellos deben tener el mismo módulo restante$3$. Si todos son de los primeros cinco, entonces su suma es múltiplo de$3$; de lo contrario, se debe incluir una suma de cuatro elementos y uno de su suma y su diferencia es divisible por$3$.